Fourier-transformasjon - Pulstog


[Hovedmeny][Forrige][Neste]
Nederst til venstre i figuren vises igjen bildet 'Lena' med en pixelrad og tilhørende søylediagram svarende til de enkelte pixel-verdiene (gråtonene) i denne raden. På foregående side bemerket vi at slike søyler (generelt de fleste funksjoner) kan erstattes av en sum av ulike bølge-funksjoner.

Øverst til høyre i figuren har vi tegnet et utsnitt av en slik søylerad.
Riktignok er her alle søylene like høye (kalles for et pulstog), men det har ingen betydning for det prinsipielle i denne fremstillingen.

Øverst til venstre i figuren er skrevet en matematisk rekke bestående av en sum av trigonometriske funksjoner. Det er mulig å vise matematisk at jo flere ledd vi tar med i denne summen, jo mer vil rekken nærme seg mot pulstoget.

Nederst til høyre i figuren er tre bilder av det nevnte pulstoget (rød) samt summen av den nevnte matematiske rekken (blå).
I det første av disse tre bildene er ett ledd tatt med i rekken og vi ser at det er ganske stor ulikhet mellom rekken og pulstoget.
I det andre bildet er to ledd tatt med i rekken og vi ser at forskjellen mellom rekken og pulstoget er noe mindre enn i den første figuren.
I det tredje bildet er ti ledd tatt med i rekken og vi ser at forskjellen mellom rekken og pulstoget nå er svært liten.

Konklusjon: Hvis vi tar med tilstrekkelig antall ledd i Fourier-rekken, så kan vår representasjon av et bilde vha pixel-verdier (søylediagram) erstattes av en sum av trigonometriske funksjoner uten at dette forstyrrer bildekvaliteten.

Spørsmålet er så: Hvilken nytte kan vi ha av å representere bilder på denne litt 'kompliserte' måten?
Vi skal her nøye oss med å nevne to fordeler:

Når vi representerer et bilde med en sum av ulike ledd, så har vi frihet til eventuelt å sløyfe en del av disse leddene hvis ønskelig. Det viser seg i praksis at vi i mange sammenhenger kan sløyfe svært mange ledd uten at dette for det blotte øyet ser ut til å forringe bildet. I så fall vil en slik representasjon gi oss mulighet til komprimering av et bilde, dvs at bildet tar mindre plass på en disk.

Det er mulig å vise at skarpe overganger i et bilde er representert av de høyfrekvente delene av den matematiske rekken, mens de mer jevne overgangene i bildet er representert av de lavfrekvente delene av den samme rekken.
Dette betyr at smådetaljer og/eller støy i et bilde kan fjernes ved å fjerne de høyfrekvente leddene i rekken (støyfjerning/komprimering). Videre betyr dette at omriss av objekter eller gjenfinning av objekter i et bilde kan gjøres ved å ta vare på kun de høyfrekvente leddene i rekken.