| Matematikk - Algebra - Tall - Irrasjonale tall - Eksempel - Kvadratroten av 2 | |
|
Irrasjonale tall - Eksempel - Kvadratroten av 2: Her følger et bevis for at kvadratroten av 2 er et irrasjonalt tall: Vi lager et kvadrat med sidelengde 1. Iflg. Pythagoras er da lengden av diagonalen lik kvadratroten av 2. Diagonalen må være lengre enn sidekanten. Derfor må kvadratroten av 2 være større enn 1. Tilsvarende må diagonalen være mindre enn 2 (kortere å gå langs diagonalen fra et et hjørne til motstående hjørne enn å gå langs to sidekanter. Herav følger at kvadratroten av 2 ikke kan være et helt tall (må ligge mellom 1 og 2). Anta nå at kvadratroten av 2 er et rasjonalt tall, dvs kan skrives som en brøk a/b hvor a og b er hele positive tall. Anta videre at brøken er forkortet mest mulig (ikke mulig å forkorte mer mellom a og b). Vi kvadrerer på begge sider og får: 2 = (a/b)2 = (a·a)/(b·b). Denne sistnevnte brøken kan ikke forkortes (siden vi ikke kan forkorte mellom a og b), og høyresiden kan derfor ikke være et helt tall. Men venstresiden er jo et helt tall (nemlig 2). Derfor har vi en selvmotsigelse. Konklusjon: Kvadratroten av 2 kan ikke skrives som en brøk og er derfor et irrasjonalt tall. |
