| Matematikk - Derivasjon - Def | |
|
Definisjon: Ved studiet av endringer skal vi først se på hvordan vi studerer endringer av en funksjon av en variabel, mer spesifikt skal vi studere hvordan stigningen (eller brattheten) til en funksjon kan defineres og hvordan denne stigninger endrer seg langs kurven. På denne siden skal vi se hvordan vi definere den deriverte til en funksjon av en variabel. I figuren øverst til høyre har vi tegnet kurven (rød farge) til en funksjon y = f(x). Vi ønsker å definere hvor bratt denne kurven stiger (dvs bestemme stigningen) til grafen i et punkt A på grafen. I tillegg til punktet A plasserer vi et nytt punkt B et annet sted på grafen. Så trekker vi linjen som går gjennom de to punktene A og B. Denne linjen kaller vi for sekanten gjennom A og B. Vi trekker en horisontal linje fra A og tilsvarende en vertikal linje fra B (se fig). Høydeforskjellen mellom punktet B og punktet A kaller vi for Δy og den horisontale differensen for Δx. Brøken Δy/Δx vil naturligvis være et mål for stigningen (brattheten) til sekanten gjennom A og B, og vi kaller denne brøken for stigningstallet til sekanten. Brøkens verdi er naturligvis avhengig av hvor B er plassert (A har vi allerede fiksert i og med at det er der vi skal studere stigningen til kurven). Dermed så er det ikke rimelig å si at stigningstallet til sekanten forteller hvor bratt kurven stiger i punktet A. Vi lar nå punktet B gli nedover langs kurven for stadig å komme nærmere og nærmere til punktet A. Etter hvert som B nærmer seg A, så vil både Δx og Δy endre seg og bli mindre og mindre. Det betyr ikke nødvendigvis at brøken Δy/Δx blir mindre og mindre. Hvis brøken Δy/Δx nærmer seg mer og mer mot et fast tall etterhvert som B nærmer seg A, så definerer vi dette faste tallet (kalt grensen for denne brøken) som stigningstallet til grafen i punktet A og stigningstallet til tangenten i A. Dette stigningstallet til tangenten kalles for den deriverte av funksjonen i punktet A. Konklusjon: Den deriverte til funksjonen y = f(x) i punktet x er stigningstallet til tangenten i punktet (x, f(x)). Merk notasjonen som benyttes: Vi bruker ordet 'lim' for grensen og skriver samtidig Δx går mot null under 'lim'. Merk også at Δy er det samme som f(x+Δx) - f(x). Derivasjons-simulering Videoforklaring av derivasjons-simulering |
