Matematikk - Derivasjon - Kjerneregel

Kjerneregel:

Her omtaler vi den såkalte kjerneregelen.
La oss tenke oss at vi har en funksjon y = f(u) hvor u igjen er en funksjon av x.
Hvordan finner vi nå den deriverte av y mht x?

Brøken Δy/Δx kan vi skrive som (Δy/Δu) / /Δu/Δx).
Grensen for denne brøken når Δx går mot null kan vi splitte opp i et produkt av to grenser (som vist i beregningene til venstre) forutsatt at hver at disse to grensene eksisterer.
Dermed ender vi opp med at dy/dx kan skrives som dy/du·du/dx.

Konklusjon:
Hvis y er en funksjon av u og u igjen er en funksjon av x, så finner vi den deriverte av y mht x ved å derivere y mht u multiplisert med den deriverte av u mht x.

Til høyre i figuren er vist et eksempel:
Vi har gitt en funksjon y = f(x) = (2x + 3)⁵.
Denne funksjonen skal vi derivere mht x.

Ved å sette u = 2x + 3, så får vi y = f(u) = u⁵.
Vi finner nå den deriverte av y mht x ved først å derivere y mht u (det gir oss 5u⁴), deretter multipliserer vi dette med den deriverte av u mht x (som gir oss tallet 2).
Resultatet blir altså 10(2x+3)⁴.