| Matematikk - Integrasjon - Integrasjon / Derivasjon - Motsatte regneoperasjoner [2/2] | |
|
Integrasjon / Derivasjon - Motsatte regneoperasjoner: På forrige side så vi på en enkelt innføring av enkelt-integral og assosierte dette integralet med et areal. Spørsmålet er nå: Hvordan beregner vi slike integraler? Etter et innføringskurs i integralregning kjenner vel de fleste til av ved integralregning vil svaret fremkomme som en funksjon (før grense-innsetting) som er slik at derivasjon av denne nevnte funksjonen vil gi tilbake integranden. Det betyr altså at derivasjon og integrasjon på en måte kan betraktes som omvendte funksjoner av hverandre. Etter å ha lært integralregning vet som regel de fleste at sånn er det, men man glemmer svært ofte hvorfor det er sånn. La oss ta et raskt blikk på hvorfor vi ved integralregning skal forsøke å finne en funksjon som derivert gir tilbake integranden: I figuren er dette beviset gjennomført. Vi skal i teksten her gjennomføre en kortere versjon av beviset. I figuren nederst til høyre har vi merket av intervallet [a,x] på x-aksen. Integralet (her arealet) over dette intervallet og under grafen kaller vi F(x). Så gir vi x et lite tillegg Δx, men tilhørende lille tilleggsareal ΔF. Den deriverte av F(x) er nå gitt ved: F'(x) = lim ΔF/Δx ΔF er tilnærmet lik f(x)·Δx. Dermed får vi: F'(x) = lim ΔF/Δx = lim ΔF/Δx = lim f(x)·Δx/Δx = f(x) Dermed har vi vist at F'(x) = f(x). Alstå skal vi begregning av integraler finne en funksjon F(x) som derivert gir integranden f(x). Funksjonen F kalles for en antiderivert funksjon av funksjonen f siden F' = f. Hvis vi til funksjonen F adderer en konstant C, så vil denne nye funksjonen også være en antiderivert funksjon av funksjonen f siden konstanten C vil forsvinne ved derivasjon. Ved beregning av et såkalt ubestemt integral (integral uten grenser), så er det derfor vanlig å føye til en konstant C i svaret. Ved bestemte integraler (integraler med grenser), så sløyfes denne konstanten C siden den vil forsvinne ved grenseinnsetting. Simulering |
