Matematikk - Integrasjon - Integrasjonsmetoder - Delbrøkoppspalting

Integrasjonsmetoder - Delbrøkoppspalting:

Av og til består integranden i et integral av en brøk hvor nevneren kan skrives som et produkt av faktorer, hver inneholdende integrasjonsvariabelen.

Vi illustrerer dette vha et eksempel.
Vi skal beregne et integral hvor integranden er lik (5x+1)/(x²+x-2)

Nevneren kan enkelt faktoriseres i to faktorer av 1. grad (benytt 2.gradsformelen):
(x²+x-2) = (x-1)(x+2).

Vi forsøker nå å skrive den opprinnlige integranden som en sum av to brøker hvor den ene brøken har nevner (x-1) og hvor den andre brøken har nevner (x+2).
Tellerne i de to brøkene er foreløpig ukjente, men de vil være konstanter, og vi kaller de henholdsvis A og B.
Dermed kan vi sette følgende:
(5x+1)/(x²+x-2) = A/(x-1) + B/(x+2)

Likhetstegnet er her egentlig et identitetstegn (skrives som et likhetstegn med 3 streker) og betyr at den sistnevnte likningen skal stemmer for alle x.

Vi multipliserer likningen (egentlig identiteten) på begge sider med fellsnevneren (x-1)(x+2).
Dermed får vi følgende identitet:
5x + 1 = A(x+2) + B(x-1)

Videre får vi:
5x + 1 = (A+B)x + (2A-B)

Siden dette skal være en identitet, må vi ha:
5 = A+B og 1 = 2A-B

Herav får vi: A = 2 og B = 3

Vi kan nå bestemme integralet:

ʃ(5x+1)/(x²+x-2)dx = ʃ(2/(x-1) + 3/(x+2))dx = 2ln|x-1| + 3ln|x+2| + C