Matematikk - Rekker - Fourier-transformasjon - Kontinuerlig - Def

Fourier-transformasjon - Kontinuerlig - Def:

Transformasjoner av en funksjon kan være hensiktsmessig i mange tilfeller: Det kan gi ny verdifull informasjon om funksjonen og det kan forenkle ulike operasjoner av funksjonen. Her vises definisjonen av den Fourier-transformerte (under gitte betingelser) av en funksjon f(x). Transformasjonen fhatt(u) (som blir en funksjon av en ny variabel u) er definert som et integral hvor funksjonen f(x) multipliseres med en kompleks funksjon e-j*2*PI*u*x hvor j er kvadratroten av -1. Funksjonen fhatt vil være et mål for i hvilken grad funksjonen e^-j*2*PI*u*x er inneholdt i (overlapper med) den opprinnelige funksjonen f(x), eller sagt på en annen måte: fhatt(u) forteller hvor mye av frekvenskomponenten u som er inneholdt i funksjonen f. Siden funksjonen e^-j*2*PI*u*x kan skrives som cos(2*PI*u*x) + jsin(2*PI*u*x), vil fhatt også være et mål for i hvilken grad f(x) overlapper med de nevnte cosinus og sinus-funksjonene. Siden u vil være en mål for frekvensen til disse trigonometriske funksjonene, kan vi også si at vi med denne transformasjonen får splittet f(x) opp i sine ulike frekvenskomponenter. Det kan vises at den Fourier-transformerte har en invers som vist til venstre. Det betyr at vi kan veksle frem og tilbake mellom den opprinnelige funksjonen og den tranformerte funksjonen. Legg merke til symmetrien, den eneste forskjellen er fortegnet i e-funksjonen. Den inverse formelen sier at funksjonen f(x) kan skrives som en vektet sum (her integral) av de enkelte frekvenskomponentene.