| Trigonometri - Enhetssirkel | |
|
Vi startet dette kapitlet ved å definere de trigonometriske funksjonene sin, cos og tan vha en rettvinklet trekant. I en rettvinklet trekant kan ingen av de to spisse vinklene være 900 eller større. Det viser seg hensiktsmessig å kunne utvide vår definisjon av de trigonometriske funksjonene til også å gjelde for vinkler som har en vilkårlig størrelse. Vi innfører derfor en generalisering av de trigonometriske funksjonene vha en såkalt enhetssirkel (generalisering betyr at våre tidligere definisjoner av de trigonometriske funksjonene vil være et spesialtilfelle av våre nye definisjoner). Vi innfører et rettvinklet koordinatsystem men en horisontal x-akse og en vertikal y-akse. Vi tegner inn en sirkel med sentrum i origo og radius lik 1 (herav navnet enhetssirkel). På figuren har vi tegnet inn en vinkel v (her lik 300). Vinkelene topp-punkt er i origo. Vinkelens høyre vinkelben faller sammen med den positive x-aksen. Vinkelens venstre vinkelben skjærer enhetssirkelen i et punkt P som er merket av på figuren. Cosinus til vinkelen v (cosv) er definert som førstekoordinaten til P. Merk at denne definisjonen stemmer overrens med vår tidligere definisjon av cos fra rettvinklede trekanter. På figuren har vi nedfelt en normal fra P til x-aksen. Vi får da en rettvinklet trekant. Cosinus som vi tidligere har definert som hosliggende katet delt på hypotenusen, vil nå bli lik hosliggende katet siden lengden av hypotenusen i denne trekanten er lik 1 (pga at sirkelen er en enhetssirkel med radius 1). For v = 300 ser vi at cosinus blir ca 0.866. Sinus til vinkelen v (sinv) er definert som andrekoordinaten til P. Merk at denne definisjonen stemmer overrens med vår tidligere definisjon av sin fra rettvinklede trekanter. På figuren har vi nedfelt en normal fra P til y-aksen. Vi får da en rettvinklet trekant. Sinus som vi tidligere har definert som motstående katet delt på hypotenusen, vil nå bli lik motstående katet siden lengden av hypotenusen i denne trekanten er lik 1 (pga at sirkelen er en enhetssirkel med radius 1). For v = 300 ser vi at sinus blir 0.5. Tangens til vinkelen v (tanv) defineres som sinv/cosv. Merk at dette også stemmer overens med vår tidligere definisjon. Med disse nye generaliserte definisjonene av trigonometriske funksjoner, ser vi at definisjonene gjelder for alle vinkler v. Simulering |
