Hastighet - Akselerasjon (Rettlinjet) UiA Logo

[Hovedmeny][Forrige][Neste] [Video/Sim]
Vi har til nå definert hastighet og akselerasjon ved:

Hastighet: v = ds/dt
Akselerasjon: a = dv/dt

Hastighet er den tidsderiverte av posisjon.
Akselerasjon er den tidsderiverte av hastighet.

Disse definisjonene kan vi benytte til å finne hastighet hvis posisjonsfunksjonen er kjent og til å finne akselerasjonen hvis hastighetsfunksjonen er kjent.

Det er ofte behov for motsatte beregninger, dvs finne posisjonen når hastighetsfunksjonen er kjent og finne hastigheten når akselerasjonsfunksjonen er kjent.
Tidligere har vi nevnt at derivasjon og integrasjon på en måte er 'omvendte' operasjoner.
Ikke overraskende vil vi derfor nå se at posisjonen kan uttrykkes som en integrasjon av hastighetsfunksjonen og at hastighetsfunksjonen kan uttrykkes som en integrasjon av akselerasjonsfunksjonen.

La oss starte med definisjon av akselerasjon: a = dv/dt
Det kan matematisk vises at uttrykk av formen dv/dt kan håndteres som en brøk. Derfor kan vi i uttrykket a = dv/dt multiplisere med dt på begge sider.
Vi får da (etter å ha byttet sider): dv = adt
Vi utfører nå samme operasjon på begge sider i denne ligningen ved å integrere på begge sider, mhp hastigheten v til venstre og mhp tiden t til høyre.
Vi lar tiden løpe fra 0 til t, dvs nedre og øvre integrasjonsgrense i tidsintegralet blir henholdsvis 0 og t.
På venstre side må vi da som nedre grense ha en hastighet som svarer til tiden 0, denne (starthastigheten) kaller vi v0.
Tilsvarende vil øvre grense i hastighetsintegralet være den hastigheten som svarer til tiden t (øvre grense i tidsintegralet).
Ved første øyekast kan det nå kanskje se ut som vi ikke utfører samme operasjon på de to sidene i ligningen, men det kan matematisk vises at vi virkelig utfører samme operasjon.
Integralet til venstre (hastighetsintegralet vil (etter innsetting av grensene) være v - v0.
Integralet til høyre (tidsintegralet) er vi ikke i stand til å beregne før akselerasjonen a som funksjon av tiden er kjent.
Derfor lar vi høyresiden bli stående uforandret.
Ved å flytte over starthastigheten v0, får vi nå at hastigheten v som funksjon av tiden er lik starthastigheten pluss integralet fra 0 til t av akselerasjonsfunksjonen a integrert mhp tiden t.

Analogt kan vi nå bestemme posisjonen s uttrykt ved integralet av hastighetsfunksjonen v.

Vi starter med definisjon av hastigheten: v = ds/dt
Vi multipliserer med dt på begge sider.
Vi får da (etter å ha byttet sider): ds = vdt
Vi utfører nå samme operasjon på begge sider i denne ligningen ved å integrere på begge sider, mhp posisjonen s til venstre og mhp tiden t til høyre.
Vi lar tiden løpe fra 0 til t, dvs nedre og øvre integrasjonsgrense i tidsintegralet blir henholdsvis 0 og t.
På venstre side må vi da som nedre grense ha en posisjon som svarer til tiden 0, denne (startposisjonen) kaller vi s0.
Integralet til venstre (posisjonsintegralet vil (etter innsetting av grensene) være s - s0.
Integralet til høyre (tidsintegralet) er vi ikke i stand til å beregne før hastigheten v som funksjon av tiden er kjent.
Derfor lar vi høyresiden bli stående uforandret.
Ved å flytte over startposisjonen s0, får vi nå at posisjonen s som funksjon av tiden er lik startposisjonen pluss integralet fra 0 til t av hastighetsfunksjonen a integrert mhp tiden t.

Disse to ligningene (innrammet på figuren) kaller vi veilovene eller bevegelsesligningene.

Lengst til høyre i figuren har vi skrevet opp posisjon s, hastighet v og akselerasjon a under hverandre i nevnte rekkefølge.
De to rød pilene med tekst under indikerer følgende:
Hvis vi kjenner en av størrelsene og skal finne en størrelse lenger ned, så utfører vi en derivasjon.
Hvis vi kjenner en av størrelsene og skal finne en størrelse lenger opp, så utfører vi en integrasjon.
Eks: Hvis vi kjenner hastighetsfunksjonen og skal finne akselerasjonen, så utføre vi en derivasjon.
Hvis vi kjenner hastighetsfunksjonen og skal finne posisjonen, så utføre vi en integrasjon.

Vi skal forsøke å gi en fysisk tolkning av veilovene (vi ser kun på den sistnevnte, dvs posisjonen s uttrykt ved integralet av hastighetsfunksjonen:
s = s0 + ʃvdt
Bak integraltegnet har vi vdt som er en infinitesimal forflytning i løpet av den infinitesimale tiden dt.
Integraltegnet betyr av vi skal summere slike infinitesimale forflytninger fra tiden 0 til tiden t.
Det betyr videre at vi får posisjonen s(t) ved tiden t ved at vi til startposisjonen (ved tiden 0) adderer til alle infinitesimale forflytninger fra tiden 0 til tiden t.
Dette høres rimelig ut, sagt på en annen måte så får vi sluttposisjonen ved at vi til startposisjonen adderer til forflytningen som har foregått i løpet av tiden fra 0 til t.
Når denne forflytningensberegningen må foregå 'stegvis' (integrereres) så er det fordi hastigheten kan endre seg underveis, slik at vi må addere til små forflytninger av gangen (små intervaller) hvor vi på hvert av disse intervallene kan betrakte hastigheten som konstant. Det kan nesten se ut som vi her gjør en tilnærmet og ikke en eksakt beregning, men husk at integrasjon (på samme måte som derivasjon) er en grenseberegning slik at beregningene er virkelig eksakte.