Newtons lover UiA Logo

[Hovedmeny][Forrige][Neste] [Video/Sim]
Vi tenker oss at en partikkel går i en sirkelbane (radius r) med konstant banefart v.
Med fart (eller her banefart) mener vi absoluttverdien (eller lengden) av hastighetsvektoren.
Kontant banefart betyr at partikkelen hele tiden går med samme fart rundt i sirkelbanen.
Merk at dette ikke betyr at hastigheten er konstant.
Hastigheten er nemlig en vektor (har retning) og siden hastigheten hele tiden er tangentiell til banen, må hastigheten hele tiden skifte retning når partikkelen går rundt i sirkelbanen.
Når hastigheten ikke er konstant (fordi den hele tiden skifter retning), må partikkelen pr definisjon ha en akselerasjon.
Vi er interessert i å bestemme absoluttverdi og retning til denne såkalte sentripetalakselerasjonen a.

Vi merker av to posisjoner (1 og 2) til partikkelen og tegner inn hastighetsvektorene v1 og v2 i disse to posisjonene (husk at hastighetsvektorene alltid er tangentielle til sirkelperiferien). Lengden av disse to hastighetsvektorene er like, begge lik v, siden banefarten er konstant lik v.
Vi skal forsøke å bestemme akselerasjonen i posisjon 1.

Vi parallellforskyver vektorene v1 og v2 slik at de får samme startpunkt.
Fartsendringsvektoren dv vil gå fra spissen på v1 til spissen på v2.
Vi lar nå posisjon 2 nærme seg posisjon 1. Vektorene v1 og v2 vil hele tiden være like lange og v2 vil nærme seg mer og mer til å bli parallell med v1 ettersom posisjon 2 flytter seg nærmere posisjon 1. Dette betyr videre at dv (og dermed a) vil nærme seg mer og mer mot å stå normalt på v1 (og v2).


Konklusjon så langt:
Akelerasjonen vil i ethvert punkt på periferien ha retning inn mot sentrum av sirkelen.

Det gjenstår nå å bestemme absoluttverdien til sentripetalakselrasjonen a.
Fra våre figurer har vi nå to ensformede (likedannede) trekanter:
- En posisjons-trekant med sider r, r og ds (ds vektoren fra posisjon 1 til posisjon 2) inne i sirkelen.
- En hastighets-trekant med sider v1, v2 og dv (med v1=v2=v).

Vi har da følgende relasjon:
dv/v = ds/r
Videre har vi (iflg veiloven): ds = v*dt hvor dt er tiden fra posisjon 1 til posisjon 2.

Herav får vi:

a = dv/dt = v^2/r

Konklusjon:
En partikkel som beveger seg med konstant banefart v i en sirkelbane med radius r har en akselerasjon (kalt sentripetalakselerasjon) med retning inn mot sirkelens sentrum og med størrelse: a = v^2/r