SimReal: Realfag - Matematikk - Streaming - Per Henrik Hogstad Matematikk - Streaming - MA-209 Obs: Ny server fra 1.januar 2024 - Klikk her K16 Kjeglesnitt 0.07.25 Innføring i Matematikk 3 (MA-209) 0.18.30 Matematikk/Medisin 0.33.30 Kursopplegg 1.11.00 Innføring i kjeglesnitt - Simulering 1.12.45 Newtons Gravitasjonslov - Video (hopp uten fallskjerm) - Hull gjennom jorden (teori) - Hull gjennom jorden (simulering) 1.16.00 Satellittbaner Topartikkelsystem 1.18.00 Dobbelkjegle - Simulering 1.26.55 Parabel - Teori - Oppgaver - Kontroll - Python Programmering av parabel 1.39.10 Refleksjon - Paraboloide 1.44.00 Refleksjon - Rett linje K16 Kjeglesnitt (forts. 1) 0.24.45 Innføring i Matematikk 3 (MA-209) 0.36.45 Parabel-refleksjon 0.47.40 Ellipse 1.27.00 Refleksjonsegenskaper - Ellipse - Ellipsoide 1.41.15 Eks: Punkt på en stige 1.42.20 Hyperbel - Simulering 1.45.00 Eksentrisitet 1.47.30 2-dimensjonale kjeglesnitt og tilhørende 3-dimensjonale objekter K16 Kjeglesnitt (forts. 2) + Parametriserte kurver 0.22.00 Oppsummering av kjeglesnitt og tilhørende 3-dimensjonale objekter 0.22.00 Linje / Sirkel / Ellipse / Tilhørende 3 dimensjonale objekter - Gjenkjenning av objekter 0.29.30 Parametrisering av kurver - Begrunnelse 0.34.00 Eks: y = x2 0.37.45 Generell parametrisering - Simulering 0.42.40 Visualisering av parametriserte kurver - Partikkelbevegelse 1 - Partikkelbevegelse 2 0.44.30 Eks: x=t, y=t (rett linje med stigningstall lik 1) - Simulering 0.49.20 Eks: x=t2-1, y=t+1 - Simulering 1 - Simulering 2 1.26.00 Parametrisering av en sirkel 1.29.20 Parametrisering av en ellipse 1.41.50 Parametrisering av en sykloide 1.49.15 Parametrisering av en snor som vikles av en sylinder - Involution 1 - Involution 2 K17 Parametriserte kurver 0.15.00 Innledning / Orientering om ukeplan og øvingsoppgaver / Simulering av stige 0.22.00 Linje / Sirkel / Ellipse / Tilhørende 3 dimensjonale objekter - Gjenkjenning av objekter 0.29.30 Parametrisering av kurver - Begrunnelse - Simulering 0.34.00 Eks: y = x2 0.37.45 Generell parametrisering 0.42.40 Visualisering av parametriserte kurver - Partikkelbevegelse 1 - Partikkelbevegelse 2 0.44.30 Eks: x=t, y=t (rett linje med stigningstall lik 1) - Simulering 0.49.20 Eks: x=t2-1, y=t+1 - Simulering 1 - Simulering 2 1.26.00 Parametrisering av en sirkel 1.29.20 Parametrisering av en ellipse 1.41.50 Parametrisering av en sykloide 1.49.15 Parametrisering av en snor som vikles av en sylinder - Involution 1 - Involution 2 K17 Parametriserte kurver (forts.) + Polarkoordinater 0.15.00 Kurvelengde - Teori 0.18.50 Kurvelengde - Simulering 0.19.50 Eks: x=etcost, y = etsint - Simulering 0.24.00 Polarkoordinater - Teori - Simulering 0.34.00 Eks: Sirkel 0.37.00 Eks: Sirkeldel 0.38.40 Eks: Rett linje 0.40.55 Eks: Kardeoide 1 Kardeoide 2 (hjertekurve) 0.53.00 Symmetri-egenskaper 0.56.30 Eks: r = 3cos(2θ) - Flower 1 - Flower 2 1.22.20 Overgang fra kartesiske til polare koordinater 1.23.40 Eks: x2+(y-2)2=4 - Simulering 1 - Simulering 2 1.31.25 Eks: r=4/(2cosθ-sinθ) 1.34.20 Areal 1.48.15 Kurvelengde K19 Polare koordinater 0.24.00 Polarkoordinater - Teori - Simulering 0.34.00 Eks: Sirkel 0.37.00 Eks: Sirkeldel 0.38.40 Eks: Rett linje 0.40.55 Eks: Kardeoide 1 Kardeoide 2 (hjertekurve) 0.53.00 Symmetri-egenskaper 0.56.30 Eks: r = 3cos(2θ) - Flower 1 - Flower 2 1.22.20 Overgang fra kartesiske til polare koordinater 1.23.40 Eks: x2+(y-2)2=4 - Simulering 1 - Simulering 2 1.31.25 Eks: r=4/(2cosθ-sinθ) 1.34.20 Areal 1.48.15 Kurvelengde K19 Polare koordinater (forts.) + Vektorer og geometri i rommet + Vektorfunksjoner 0.18.00 Oppsummering av kjeglesnitt 0.21.20 Oppsummering av parametriserte kurver 0.23.40 Oppsummering av polarkoordinater 0.26.00 Vektorer og geometri i rommet 0.40.00 Vektorfunksjoner 0.43.55 Eks: Rett linje gjennom gitt punkt og med gitt retningsvektor 0.47.35 En vektorfunksjon med konstant lengde står normalt på sin egen derivert 0.57.00 Partikkelbevegelse 1.17.00 Partiell-derivasjon / Gradientvektor 1.18.50 Stigning i x- og y-retning 1.22.15 Stigning i en vilkårlig retning / Gradientvektor 1.29.15 Kjerneregel 1.45.50 Nivåkurver K31 Vektorgeometri + Vektorfunksjoner 0.17.55 Rep - Kjeglesnitt / Parametriserte kurver / Polarkoordinater 0.26.10 Vektorer og geometri i rommet 0.40.00 Vektorfunksjoner 0.48.00 Eks: Rett linje gjennom gitt punkt og med gitt retningsvektor 0.51.55 Helix 0.52.55 En vektorfunksjon med konstant lengde står normalt på sin egen derivert 0.57.08 Partikkelbevegelse 1.17.00 Partiell-derivasjon / Gradientvektor 1.19.10 Stigning i x- og y-retning 1.22.15 Stigning i en vilkårlig retning / Gradientvektor 1.29.00 Kjerneregel 1.45.50 Nivåkurver 1.58.20 Eks: z = x2 + xy - Simulering K32 Vektorfunksjoner + Partiell derivasjon / Gradientvektor 0.17.55 Rep - Kjeglesnitt / Parametriserte kurver / Polarkoordinater 0.26.10 Vektorer og geometri i rommet 0.40.00 Vektorfunksjoner 0.48.00 Eks: Rett linje gjennom gitt punkt og med gitt retningsvektor 0.51.55 Helix 0.52.55 En vektorfunksjon med konstant lengde står normalt på sin egen derivert 0.57.08 Partikkelbevegelse 1.17.00 Partiell-derivasjon / Gradientvektor 1.19.10 Stigning i x- og y-retning 1.22.15 Stigning i en vilkårlig retning / Gradientvektor 1.29.00 Kjerneregel 1.45.50 Nivåkurver 1.58.20 Eks: z = x2 + xy - Simulering K20 Partiell derivasjon / Gradientvektor 1.17.00 Partiell-derivasjon / Gradientvektor 1.19.10 Stigning i x- og y-retning 1.22.15 Stigning i en vilkårlig retning / Gradientvektor 1.29.00 Kjerneregel 1.45.50 Nivåkurver 1.58.20 Eks: z = x2 + xy - Simulering K20 Partiell derivasjon / Gradientvektor (forts.) 0.18.00 Gradientvektor / Kjerneregel 0.23.00 Eks: z = x2 + xy - Simulering 0.34.50 Eks: Planet x + y + z = 5 0.49.30 Generelle betraktninger - Gradientvektor / nivåkurver / normaler 0.56.00 Eks: Ellipsen x2/4 + y2 = 2 1.33.00 Generelle betraktninger - Gradientvektor / nivåkurver / nivåflater / normaler 1.52.45 Eks: z = xcosy - yex - Simulering K20 Partiell derivasjon / Gradientvektor (forts.) 0.06.00 Eks: z = xcosy - yex - Simulering (forts.) 0.15.30 Enkeltintegral - Grense for en sum / Antiderivasjon 0.28.00 Dobbeltintegral - Grense for en dobbeltsum 0.45.45 Rektangulære områder - Teori 1.08.50 Rektangulære områder - Eks: z=4-x-y 1.40.30 Generelle områder - Teori 1.45.45 Generelle områder - Eks: z=3-x-y K21 Multiple integraler 0.15.30 Enkeltintegral - Grense for en sum / Antiderivasjon 0.28.00 Dobbeltintegral - Grense for en dobbeltsum 0.45.45 Rektangulære områder - Teori 1.08.50 Rektangulære områder - Eks: z=4-x-y 1.40.30 Generelle områder - Teori 1.45.45 Generelle områder - Eks: z=3-x-y K21 Multiple integraler (forts.) 0.05.00 Dobbelt-integral (forts.) - Generelle områder - Eks: z=3-x-y 0.23.00 Eks: z=4x2+y2, z=0, x=0, y=0, 2x+y=2 0.42.00 Grensesetting 1.07.00 Egenskaper ved dobbeltintegral 1.09.00 Areal-betraktninger: A = ʃʃdA 1.19.45 Gjennomsnitt 1.32.00 Gjennomsnitt - Eks: avg(sinx) over [0,π] 1.37.00 Gjennomsnitt - Enkel-/Dobbel-/Trippel-integral 1.39.45 Gjennomsnitt - Eks: avg(xcos(xy) over [0,π] x [0,1] K21 Multiple integraler (forts.) 0.05.00 Dobbeltintegral (forts.) 0.11.00 Massesenter - Teori 0.15.45 Eks: Massesenter av en trekant 0.32.00 Treghetsmoment 0.35.00 Polare områder 1.10.25 Eks: Sirkel i 1.kvadrant 1.21.00 Eks: Areal av r = θ for θ є [0, 2π] 1.26.50 Eks: Areal av r = 4cosθ 1.36.00 Eks: Volum avgrenset av z=16-x2-3y2 og z=3x2+y2 K21 Multiple integraler (forts.) 0.05.00 Dobbeltintegral Eks (forts.): Volum avgrenset av z=16-x2-3y2 og z=3x2+y2 0.23.45 Oppgavekommentar (A 14.2.13) - ʃʃx/y·eydA 0.34.30 Areal/Masse/Massesenter/Treghetsmoment/Gjennomsnitt/Polarintegral 0.39.15 Trippelintegral 0.49.45 Rektangulære integrasjonsområder 1.06.00 Generelle integrasjonsområder 1.10.00 Egenskaper 1.11.00 Eks: y+z=1, x=0, x=2, y=0 1.28.00 Eks: x-y+z=0, x=0, y=1 K21 Multiple integraler (forts.) 0.05.00 Ekstra oppgavekommentar (A 14.2.13) - ʃʃx/y·eydA 0.10.40 Eks (forts.): x-y+z=0, x=0, y=1 0.13.40 Lengde/Areal/Volum/Masse/Massesenter/Treghetsmoment/Gjennomsnitt 0.17.30 Koordinatsystemer: Kartesiske-/Sylinder-/Sfæriske-koordinater 0.26.15 Eks: Massesenter: z=4-x2-y2 over R=x2+y2=4 0.45.30 Eks: ʃʃʃ(3+2xy)dV 1.08.00 Sfæriske koordinater 1.13.45 Eks: Volum av iskremkjegle: Topp med radius 1, sidevinkel π/2 1.27.20 Substitusjon 1.40.45 Eks: Arealet av en ellipse med halvakser a og b K21 Multiple integraler (forts.) 0.05.00 Oppsummering: Substitusjon 0.19.50 Eks: Massesenter til ellipsoiden x2/a2+y2/b2+z2/c2=1 1.07.50 Eks: ʃʃʃ((2x-y)/2+z/3) med grenser: x=y/2, x=y/2+1, y=0, y=4, z=0, z=3 1.40.00 Eks: Massen av begrenset område: xy=1, xy=4, y2-x2=2, y2-x2=5, massetetthet x2+y2 K22 Vektorfelt 0.41.00 Innledning 0.43.45 Eks: Vind / Væskestrøm / Flyvinge / Skrått kast / Gravitasjonsfelt / Elektromagnetiske felt 0.47.30 Maxwells ligninger 0.50.50 Blodstrøm 0.53.25 Eks: To vektorfelt (med og uten curl) 1.15.30 Eks: F = [F1,F2] = [-y,x] 1.20.00 Arbeid - Innledning / Generell definisjon - A=ʃF·dr 1.32.00 Ulike former for arbeid 1.32.10 Eks: Arbeid ved F = [2x,y,3] fra origo til (1,2,3) 1.58.00 Strømning 2D - Generalisering av arbeid - S=ʃF·Tds K22 Vektorfelt (forts.) 0.16.00 Strømning 2D (forts.) - Oppsummering 0.24.00 Fluks 2D 0.35.55 Eks: Arbeid/Strømning ved flytting av partikkel i tyngdefelt 0.37.20 Eks: Arbeid/Strømning ved flytting av partikkel i elektrisk felt 0.38.30 Eks: Fluks ved vannmengde som passerer en kurve / tsunami 0.41.30 Kurveintegral: ʃfds 0.47.20 Eks: Massesenteret til en halvsirkelperiferi - y2+z2=1, z>=0, massetetthet ρ=2-z 1.18.50 Vektorkalkulus K23 Vektorkalkulus 1.18.45 Del-operator / Div / Curl 1.37.25 Konservativt vektorfelt - Teorem K23 Vektorkalkulus (forts.) 0.17.30 Konservativt vektorfelt - Teorem (forts.) 0.25.00 Bevis for teoremer knyttet til konservativt vektorfelt 0.46.00 Eks: F = [excosy+yz,xz-exsiny,xy+z] Bestem kurveintegral langs rett linje fra (1,2,3) til (7,9,-1) 1.47.15 Eks: I=ʃ(exsiny+3y)dx+(excosy+2x-2y)dy langs ellipsen 4x2+y2=4 mot klokken K23 Vektorkalkulus (forts.) 0.17.00 Eks (forts.): I=ʃ(exsiny+3y)dx+(excosy+2x-2y)dy langs ellipsen 4x2+y2=4 mot klokken 0.33.20 Div / Curl - Sammenheng mellom strømning og curl og mellom fluks og divergens 0.56.30 Eks: F=[x2-y,xy-y2] - Finn divergens og curl 1.33.15 Eks: F=[x,y] 1.36.30 Eks: F=[-y,x] 1.37.40 Eks: F=[y,0] 1.39.00 Eks: Skovlhjul 1.42.15 Greens teorem 1.52.00 Eks: F=[-y,x] - Beregn fluks og sirkulasjon langs et kvadrat med sentrum i origo og sidelengde lik 2 K23 Vektorkalkulus (forts.) 0.16.50 Oppsummering div/curl/Greens teorem 0.25.30 Fluksberegning med benevning - Elektrisk felt/Vannmasse 0.28.15 Gravitasjonfelt - Hull i jorden (video) - Hull i jorden (simulering) 0.28.30 Gravitasjonsfelt - Hull gjennom jorden 0.31.30 Eks (forts.): F=[-y,x] - Beregn fluks og sirkulasjon langs et kvadrat med sentrum i origo og sidelengde lik 2 0.53.45 Greens teorem - Bevisskisse 0.58.15 Eks: Beregn uten og med Greens teorem: ʃxydy-y2dx langs enhetskvadrat i 1.kvadrant og et hjørne i origo 1.37.45 Eks: I=ʃ(4y2x-2x)dy-(x2y+3x-2y)dx - Finn den lukkede kurven som minimaliserer I 1.55.00 Greens areal-teorem - Simulering K23 Vektorkalkulus (forts.) 0.15.30 Greens areal-teorem (forts.) 0.22.00 Eks: Arealet av et rektangel 0.27.00 Eks: Arealet av en sirkel 0.33.45 Eks: Arealet av en trekant (0,0), (2,2), (0,0) 0.42.40 Simulering av Greens areal-teorem 0.50.30 Areal av flater i rommet - Teorem 1.18.00 Areal av flater i rommet - Bevis 1.30.00 Eks: Areal av paraboloidesideflate: z=x2+y2 z<=4 1.50.45 Flateintegral 1.51.30 Flateintegral - Masse/Moment/Massesenter/Treghetsmoment/Gyrasjonsradius 1.54.00 Fluksbetraktninger i 2D og 3D K23 Vektorkalkulus (forts.) 0.15.00 Flateintegral (forts.) 0.25.30 Eks: F=[0,yz,z2] - Fluks ut av en halvsylinder 0.45.30 Flateintegral - Ulike former 0.50.37 Parametrisering av flater 0.51.00 Parametrisering av flater - Eks: Sylindersideflate 1.28.00 Parametrisering av flater - Eks: Kjegleflate 1.33.20 Arealet av en kjegleoverflate 1.58.00 Stokes / Gauss teorem K23 Vektorkalkulus (forts.) 0.17.30 Stokes / Gauss teorem (forts.) 0.32.50 Stokes / Gauss teorem - Bevisskisse 0.39.30 Eks Sirkulasjon: Flate: x2+ y2+ z2=9, Rand:x2+ y2=9, Vektorfelt F=[y,-x,0] 1.49.00 Eks Fluks: F=[xy2,x2y,.(x2)+y2] - T: x2+y2 <= z <= 1 K23 Vektorkalkulus (forts.) 0.16.45 Oppsummering: Stokes / Gauss teorem 0.19.00 Eks Fluks (forts.): F=[xy2,x2y,.(x2)+y2] - T: x2+y2 <= z <= 1 0.44.30 Eks Sirkulasjon: F=[x2-y,4z,x2] - z=(x2+y2)0.5 0.54.20 Eks Sirkulasjon: F=[xz,xy,3xz] langs en trekant (1,0,0), (0,2,0), (0,0,2) i rommet K33 Partielle differentiallikninger 1.12.00 Kobling av partielle differentiallikninger og Fourier 1.14.30 Partielle differentiallikninger 1.21.50 Eks 1: δz/δxδy = x2y 1.44.00 Eks 1: Simulering K33 Partielle differentiallikninger (forts.) + Fourier 0.06.30 Eks 1: (forts.) ∂z/∂x∂y = x2y 0.16.00 Eks 2: δu/δx = 4δu/δy - Separasjon av variable 0.43.20 Fourier K34 Fourier 0.43.20 Innledning: Transformasjoner 1.12.30 Fourier transformasjon 1.16.00 Fourier rekke 1.23.20 Symmetriegenskaper 1.30.20 Pulstog K34 Fourier (forts.) 0.09.15 Oppsummering 0.20.30 Eks 2: ZigZag 0.41.30 Sampling / Digitalisering 0.50.25 Svingninger / Bølger / Varmeledning 1.07.30 Varmeledning 1.25.50 Fourier / Varmeledning Heat Conduction - Video Repetisjon 0.08.30 Repetisjon - Eksamen ordinær 2009 oppg nr 1 - Simulering 1.39.50 Repetisjon - Eksamen utsatt 2011 oppg nr 1 Repetisjon 0.16.30 Repetisjon - Eksamen ordinær 2009 oppg nr 1 - Simulering Repetisjon 0.16.30 Repetisjon - Eksamen ordinær 2009 oppg nr 1 - Simulering 1.17.30 Repetisjon - Eksamen utsatt 2010 oppg nr 4 1.45.00 Repetisjon - Eksamen utsatt 2015 oppg nr 5 Repetisjon 0.06.30 Repetisjon - Oppsummering 0.13.00 Repetisjon - Eksamen ordinær 2009 oppg nr 1 - Simulering 0.15.30 Repetisjon - Eksamen utsatt 2011 oppg nr 1a 0.17.30 Repetisjon - Eksamen ordinær 2011 oppg nr 1b 0.43.00 Repetisjon - Eksempel Green 1.18.40 Repetisjon - Eksamen utsatt 2015 oppg nr 5 1.30.40 Repetisjon - Eksamen ordinær 2011 oppg nr 1 c,d,e 1.39.50 Repetisjon - Eksamen ordinær 2012 oppg nr 2