Partiell derivasjon

Vi har gitt implisitt funksjonen x = x(x,y) ved:

yz - lnz = x +y

For å bestemme den partiellderiverte av z mht x (∂z/∂x), deriverer vi begge sider av ligningen partielt mht x:
∂/∂x(yz - lnz) = ∂/∂x(x +y)

Vi deriverer ledd for ledd på begge sider:
∂/∂x(yz) - ∂/∂x(lnz) = ∂/∂x(x) +∂/∂x(y)

I første ledd på venstre side er y konstant.
I andre ledd på venstre side benytter vi kjerneregelen og deriverer lnz partielt mht z og multipliserer deretter med den partielderiverte av z mht x.
På høyre side vil første ledd (x) partielderivert mht x bli lik 1. Andre ledd på høyre side (y) vil partielderivert mht x bli lik 0 siden y skal betraktes som en konstant når vi partielderiverer mht x.
Herav får vi:
y∂/∂x(z) - ∂/∂z(lnz)∂z/∂x = 1 + 0

Første ledd på venstre side lar vi stå uforandret (flytter kun z opp bak partiellderivasjonstegnet i telleren).
I andre ledd på venstre side benytter vi at den partielderiverte av lnz mht z er lik 1/z.
Høyre side blir lik 1 + 0 = 1.
Herav får vi:
y∂z/∂x - 1/z·∂z/∂x = 1

Vi faktoriserer venstresiden og får:
(y-1/z)∂z/∂x = 1

Vi deler begge sider av ligningen med (y-1/z) og får:

∂z/∂x = 1/(y-1/z)