| Partiell derivasjon | |
|
Vi skal se litt på det vi kaller differential. På figuren har vi tegnet grafen til en funksjon y = f(x) (rød farge). Videre har vi tegnet tangenten til grafen i et punkt A på grafen (blå farge). På figuren har vi fra punktet A stiplet et horisontalt linjestykke med lengde Δx. Fra høyre endepunkt av dette stiplede linjestykket har vi stiplet et vertikalt linjestykke opp til grafen til y = f(x). Lengden av dette linjestykket opp til grafen kaller vi Δy. Det vertikale linjestykket skjærer også tangenten til grafen. La oss foreløpig kalle høyden opp til skjæringspunktet med tangenten for h. Stigningstallet til tangenten er lik den deriverte av y, dvs y' eller df/dx, og er videre lik h/Δx. Herav får vi at høyden av den vertikale linjen opp til skjæringspunktet med tangenten er lik h = df/dx·Δx. Av figuren ser vi at den vertikale linjens skjæringspunkter med henholdsvis grafen og tangenten ikke nødvendigvis faller sammen. Derfor kan vi bare tilnærmet sette Δy = df/dx·Δx. Hvis vi derimot lar Δx gå mot null (vi går til infinitesimale størrelser og setter dx i stedet for Δy og dy i stedet for &#y), kan vi bytte ut tilnærmet-tegnet med likhetstegn og vi får følgende uttrykk for det vi kaller differential: dy = df/dx·dx Hvis i parameteriserer kurven ved x = x(t), så vil y også bli en funksjon av t. Vi benytter kjerneregelen og får: dy/dt = dy/dx·dx/dt |
