| Partiell derivasjon | |
|
Vi har tidligere sett på det vi kaller differential i forbindelse med funksjoner av en enkelt variabel: y = f(x) Vi skal nå se på det vi kaller totalt differential i forbindelse med funksjoner av flere variable: w = f(x,y,z,...) La oss starte med et eksempel hvor vi har en funksjon av to variable: z = f(x,y) På figuren ser et bilde av fjellet Gaustatoppen (1883 moh.). Vi legger inn et koordinatsystem med et origo helt til venstre i bildet). x- og y-aksen er to perpendikulære akser i horisontalplanet, mens z-aksen har retning vertikalt oppover og brukes til å måle høydedifferenser. La oss tenke oss at vi starter en gåtur fra origo (lengst til venstre på figuren) opp til toppen av fjellet. Vi kan tenke oss flere alternative gåruter: 1. Vi kan følge åskammen i den venstre delen av bildet opp til toppen 2. Vi kan følge ruten merket med hvit farge på bildet. I tilfelle 1 går vi fra origo langs åsryggen opp til toppen og gjennomgår en høydeendring som vi kaller Δz. I tilfellt 2 går vi først fra origo langs x-aksen en strekning Δx, så langt at vi deretter kan gå i retning langs y-aksen en strekning Δy rett opp til toppen av fjellet. Vi lar Δz1 være høydeendringen når vi først går en strekning Δx langs x-aksen. Vi lar Δz2 være høydeendringen når vi deretter går en strekning Δy langs y-aksen. Siden vi for begge disse gårutene har samme startpunkt (origo) og samme endepunkt (toppen av fjellet), så må den totale høydeendringen for begge gårutene være den samme, dvs: Δz = Δz1 + Δz2 Hvis vi lar Δx og Δy være relativt små og vi benytter at ∂z/∂x og ∂z/∂y er høydeendring pr lengdeenhet langs henholdsvis x- og y-aksen får vi tilnærmet: Δz = ∂z/∂x·Δx + ∂z/∂y·Δy Når vi lar Δx og Δy gå mot null, dvs vi går over til infinitesimale størrelser, får vi: dz = ∂z/∂x·dx + ∂z/∂y·dy Størrelsen dz kaller vi det totale differential. |
