| Partiell derivasjon | |
|
Vi har en funksjon av to variable z = f(x,y). Grafen til denne funksjonen er en flate i rommet (blå farge på figuren). z = z(x,y) = f(x,y) beskriver høyden til de enkelte punktene på denne flaten. Vi har tidligere sett på hvordan de partiellderiverte mht x og y beskriver hvor bratt denne flaten stiger i x- og y-retning henholdsvis. Vi ønsker nå matematisk å bestemme hvor bratt det er i vilkårlige retninger. Vi tenker oss at vi ønsker å bestemme hvor bratt det er i et punkt (x0,y0) på flaten i retning gitt ved en enhetsvektor u (rød farge på grafen). Dette gjør vi ved å bestemme stigningstallet til tangenten i punktet (x0,y0) i retning u = [u1,u2] Vi parameteriserer linjen som går gjennom (x0,y0) på flaten i retning gitt u = [u1,u2]: x = x0 + su1 y = y0 + su2 På samme måte som for vanlig derivasjon, vil nå stigningstallet for den nevnte tangenten være: df/ds = lim ((f(x,y) - f(x0,y0)) / s) = lim ((f(x0+su1,y0+su2) - f(x0,yx0)) / s) Bruk av kjerneregelen og parameteriseringen gir: df/ds = ∂f/∂x·dx/ds + ∂f/∂x·dy/ds = ∂f/∂x·u1 + ∂f/∂x·u1 Ved å benytte skalarprodukt, får vi: df/ds = [∂f/∂x,∂f/∂y]·[u1,u2] Vi innfører en såkalt del-operator (en vektor-operator): ∇ = [∂/∂x,∂/∂y] Denne vektor-operatoren anvendt på den skalare funksjonen f gir: ∇f = [∂f/∂x,∂f/∂y] Denne sistnevnte vektoren kalles for gradientvektor til f. Vi får nå følgende uttrykk for stigningstallet (retningsderivert) til tangenten til flaten i punktet (x0,y0) i retning u: df/ds = ∇f·u |
