Partiell derivasjon

Fra forrige side har vi følgende:

Del-operator: ∇ = [∂/∂x,∂/∂y]
Gradientvektor til f: ∇f = [∂f/∂x,∂f/∂y]
Retningsderivert: df/ds = ∇f·u

Fra uttrykket for retningsderivert ser vi følgende:
Langs en nivåkurve, dvs i en retning hvor flaten f(x,y) ikke har noen høydeendring, så må df/ds være lik null.
Når u peker i retning langs en nivåkurve, må vi derfor ha: ∇f·u = 0.
Herav følger at ∇f står normalt på nivåkurver.
Dette skal vi se på litt mer matematisk senere.

df/ds er størst (minst) når u har samme (motsatt) retning som ∇f.
Med andre ord: Hvis vi skal bestemme i hvilken retning det er brattest i et terreng gitt ved z = f(x,y), så er dette i retning av gradientvektoren til f.
Stigningstallet til tangenten i den bratteste retningen er gitt ved |∇f|, dvs stigningstallet er lik lengden av gradientvektoren.

På denne siden er videre vist 4 sentrale regler for gradientvektorer (kan enkelt vises fra definisjonen av gradientvektor):
Gradienten til en skalar k multiplisert med f er lik skalaren k multiplisert med gradienten til f.
Gradienten til en sum (differens) mellom to funksjoner f og g er lik summen (differensen) mellom gradienten til f og gradienten til g.
Gradientene til et produkt av f og g er lik f multiplisert med gradienten til g pluss g multiplisert med gradienten til f.
Gradienten til f/g er lik g multiplisert med gradienten til f minus f multiplisert med gradienten til g, alt delt på kvadratet av g.