Partiell derivasjon

Vi har gitt flaten: z = f(x,y) = x² + xy (rød farge i figuren).
Vi skal bestemme den deriverte av f(x,y) (alstå hvor bratt det er ) i punktet P₀(1,2) i retning v = [1,1].

Vi bestemmer gradientvektoren til f:
∇f(x,y) = [∂f/∂x,∂f/∂y] = [∂(x²+xy)/∂x,∂(x²+xy)/∂y] = [2x+1 · y,0+x · 1] = [2x+y,x]
∇f(1,2) = [2 · 1+2,1] = [4,1]

Vektoren v = [1,1] er ikke en enhetsvektor, så vi trenger å bestemme enhetsvektoren u i samme retning som v:
u = v/|v| = [1,1]/(1²+1²)^1/2 = 2^-1/2[1,1].

Herav får vi nå den deriverte i punktet P₀(1,2) i retning v = [1,1]:
df/ds = ∇f(1,2)·u = [4,1] · 2^-1/2[1,1] = 5/2^1/2

Merk at det er brattest i punktet P₀(1,2) i retning av gradientvektoren, dvs i retningen ∇f(1,2) = [4,1].
Stigningen i denne retningen er lik lengden av gradientvektoren, dvs stigningen er:
|∇f(1,2)| = (4²+1²)^1/2 = 17^1/2.