| Partiell derivasjon | |
|
Vi har tidligere bemerket at gradientvektorer står normalt på nivåkurver. Dette skal vi her se på litt mer matematisk. Vi har en flate i rommet gitt ved: z = f(x,y). En nivåkurve er gitt ved at alle punkter på denne nivå-kurven har samme høyde, dvs z er konstant: z = f(x,y) = c hvor c er en konstant. Vi parameteriserer denne nivåkurven: r(t) = [x(t),y(t)] Nivåkurven er nå gitt ved: f(x(t),y(t)) = c. Vi deriverer begge sider av denne ligningen mhp t: d/dt (f(x(t),y(t))) = d/dt (c) Vi benytter kjerneregelen og at den deriverte av en konstant er lik null: ∂f/∂x·dx/dt + ∂f/∂x·dy/dt = 0 [∂f/∂x,∂f/∂y]·[dx/dt,dy/dt] = 0 ∇f·dr/dt = 0 Merk at dr/dt er tangentvektor til nivåkurven. Herav ser vi nå følgende viktige resultat: Gradientvektoren til f står normalt på tangenten til nivåkurven, dvs normalt på nivåkurven. |
