| Partiell derivasjon | |
|
Vi har gitt ellipsen: x2/4 + y2 = 2. Vi skal bestemme ligningen for tangenten til ellipsen i punktet (-2,1). Vi lager følgende skalare funksjon: z = f(x,y) = x2/4 + y2 Ellipsen er da følgende nivåkurve til flaten z = f(x,y): f(x,y) = 2. Vi bestemmer gradientvektoren til f: ∇f(x,y) = [∂f/∂x,∂f/∂y] = [2x/4+0,0+2y] = [x/2,2y] ∇f(-2,1) = [-2/2,1 · y] = [-1,2] Denne gradientvektoren står normalt på nivåkurven, dvs normal på ellipsen i punktet (-2,1). Vi skal nå bestemme ligningen for en rett linje som går gjennom et gitt punkt (x0,y0) = (-2,1) og som står normalt på en vektor [A,B] = [-1,2]. La (x,y) være et vilkårlig punkt på denne linjen. Vi benytter at skalarproduktet mellom to vektorer som står normalt på hverandre er lik null. [A,B]·[x-x0,y-y0] = 0 [-1,2]·[x-(-2),y-1] = 0 -1(x+2) + 2(y-1) = 0 2y - x = 4 Ligningen for tangenten til ellipsen i punktet (-2,1) er altså: 2y - x = 4. |
