Partiell derivasjon

Vi skal bestemme tangentplan til en flate i rommet vha såkalte nivåflater.

Vi tenker oss en funksjon av tre variable: w = f(x,y,z).
Vi klarer ikke å tegne denne funksjonen i 3 dimensjoner, vi må opp i 4 dimensjoner siden x,y og z allerede beslaglegger 3 dimensjoner.

Med en nivåflate til f mener vi alle de punktene (x,y,z) hvor f har en konstant verdi (her kalt c).
Altså en nivåflate er en samling av alle de punkter i rommet hvor f(x,y,z) = c.
Disse punktene utgjør til sammen en flate i rommet, dvs vi har nå kommet fra 4 dimensjoner ned til 3 dimensjoner.

Vi parameteriserer en kurve i denne nivåflaten:
r(t) = [x(t),y(t),z(t)]

Nivåflaten er nå gitt ved: f(x(t),y(t),z(t)) = c.
Vi deriverer begge sider av denne ligningen mhp t:
d/dt (f(x(t),y(t),z(t))) = d/dt (c)

Vi benytter kjerneregelen og at den deriverte av en konstant er lik null:
∂f/∂x·dx/dt + ∂f/∂x·dy/dt + ∂f/∂x·dz/dt = 0
[∂f/∂x,∂f/∂y,∂f/∂z]·[dx/dt,dy/dt,dz/dt] = 0
∇f·dr/dt = 0

Merk at dr/dt er tangentvektor til denne vilkårlige kurven i nivåflaten og derfor en tangent til nivåflaten.

Herav ser vi nå følgende viktige resultat:

Gradientvektoren til f står normalt på en vilkårlig tangent til nivåflaten, dvs normalt på nivåflaten, og derfor normalt på et tangentplan til flaten..

Straks vi har en normalvektor til tangentplanet, kan vi bestemme ligningen for dette tangentplanet siden komponentene til normalvektoren er heholdsvis x-, y- og z-koeffisientene til tangentplanet (se eksempel neste side).