Multiple integraler

[Hovedmeny][Forrige][Neste] [Streaming] [Powerpointslides] [Video/Sim]

Den vanligste innføringen i integralregning er i form av arealberegning.
Øverst til venstre i figuren vises grafen (rød farge) til en funksjon y = f(x).
To punkter a og b er merket av på x-aksen.
I disse to punktene oppreises vertilale linjer og vi får nå et avgrenset område (grå farge), under grafen, over x-aksen og mellom disse to vertikale linjene.

Vi tenker oss at vi deler intervallet [a,b] inn i n deler (ikke alle nødvendigis like store).
Bredden på intervall nr i betegner vi Δx_i.
Hvis dette området er tilstrekkelig smalt, vil vi nå over dette og under grafen få et tilnærmet rektangulært område (se øverste høyre del av figuren).
Hvis vi lar x_i^* være en x-verdi i dette smale intervall nr i, vil arealet av dette tilnærmet rektangulære området være tilnærmet f(x_i^*)·Δx_i.
Arealet av hele området over intervallet [a,b] vil nå være tilnærmet summen av n slike små-arealer.
Ved å la disse små-intervallene få mindre og mindre bredde Δx_i, i=1,2,...,n, vil summen av disse små-arealene komme nærmere og nærmere det vi intuitivt ville kalle for arealet over intervallet [a,b].
Hvis denne grensen eksisterer, kaller vi denne grensen for integralet av f(x) fra a til b og symboliserer dette med en langstrukket S (eller langstrukket sum-symbol) påsatt nedre og øvre grense henholdsvis a og b.

Enkelt-integral:
Vi har en funksjon y = f(x).
Funksjonen er definert over et intervall I.
Vi deler intervallet I opp i n deler.
Δx_i er bredden av del nr i.
Vi lar x_i^* være en x-verdi i intervall nr i.
Enkelt-integralet av denne funksjonen over et intervall I er definert ved:

ʃf(x)dx = lim Σf(x_i^*)·Δx_i

hvor lim betyr at partisjoneringen går mot null, dvs oppdelingen av intervallet I består av et økende antall deler hvor hver del blir stadig mindre og mindre.

[SWin]