Multiple integraler

[Hovedmeny][Forrige][Neste] [Streaming] [Powerpointslides] [Video/Sim]

Dobbelt-integral er en naturlig utvidelse av enkelt-integral.
Derfor gjentar vi først definisjonen av enkelt-integral og utvider deretter definisjonen til dobbel-integral.

Enkelt-integral:
Vi har en funksjon y = f(x).
Funksjonen er definert over et intervall I.
Vi deler intervallet I opp i n deler.
Δx_i er bredden av del nr i.
Vi lar x_i^* være en x-verdi i intervall nr i.
Enkelt-integralet av denne funksjonen over et intervall I er definert ved:

ʃf(x)dx = lim Σf(x_i^*)·Δx_i

Dobbelt-integral:
Vi har en funksjon z = f(x,y).
Funksjonen er definert over et område R.
Vi deler området R opp i n x m deler (ΔR_ij).
ΔA_ij er arealet av del nr ij.
Vi lar (x_ij^*,y_ij^*)være et punkt i område nr ij.
Dobbelt-integralet av denne funksjonen over området R er definert ved:

ʃʃf(x,y)dx = lim ΣΣf(x_i^*,y_i^*)·ΔA_ij

På figuren har vi tegnet inn flaten z = f(x,y) (rød farge) og området R (rutet området i xy-planet).
Vi tenker oss for enkeltskyld at f(x,y) > 0 over hele området R.
f(x_i^*,y_i^*)·ΔA_ij er volumet av den smale søylen over området ΔR_ij og som går opp til flaten f(x,y).
Hvis vi summerer (dobbeltsum) volumet av alle slike smale stolper over hele ormådet R, får vi volumet av det legemet som over området R befinner seg under flaten f(x,y).