| Multiple integraler | |
|
Ved et dobbeltintegral skal vi summere bidraget f(x,y)dA over hele integrasjonsområdet R. På figuren svarer f(x,y)dA til volumet (grunnflate dA og høyde f(x,y)) av den vertikale, smale, grå stolpen fra xy-planet opp til grafen z = f(x,y). La oss anta at vårt integrasjonsområde R er rekangulært [a,b] x [c,d]. Det kan da være hensiktsmessig å dele R opp i infinitesimale rekangulære områder med sider parallelle med henholdsvis x- og y-aksen, og vi kan sette dA = dxdy (eller dA = dydx). Vi kan nå beregne dette dobbelt-integralet på to måter: 1: Integrasjonene (dvs summeringene) kan hensiktsmessig foregå først langs en rad parallell med y-aksen mens x holdes konstant (se horisontal smal, grå side parallell med y-aksen i figuren lengst til venstre), deretter summere bidraget fra slike 'y-rader' i x-retning. Ved integrasjon først mht til y deretter mht x, skal vi beregne følgende dobbeltintegral: ʃʃf(x,y)dydx Vi beregner først det innerste integralet, dvs ʃf(x,y)dy. Når vi først integrerer (dvs summerer) mht y, holdes x konstant. Uansett valg av x (et sted i intervallet [a,b]) vil det innerste integralet ha nedre og øvre integrasjonsgrense c og d henholdsvis (se figuren lengst til venstre). Det ytterste integralet vil ha nedre og øvre integrasjonsgrense a og b henholdsvis. 2: Integrasjonene (dvs summeringene) kan hensiktsmessig foregå først langs en rad parallell med x-aksen mens y holdes konstant (se horisontal smal, grå side parallell med x-aksen i figuren lengst til høyre), deretter summere bidraget fra slike 'x-rader' i y-retning. Ved integrasjon først mht til x deretter mht y, skal vi beregne følgende dobbeltintegral: ʃʃf(x,y)dxdy Vi beregner først det innerste integralet, dvs ʃf(x,y)dx. Når vi først integrerer (dvs summerer) mht x, holdes y konstant. Uansett valg av y (et sted i intervallet [c,d]) vil det innerste integralet ha nedre og øvre integrasjonsgrense a og b henholdsvis (se figuren lengst til høyre). Det ytterste integralet vil ha nedre og øvre integrasjonsgrense c og d henholdsvis. Simuleringer: 
|
