| Multiple integraler | |
|
Vi har gitt funksjonen z = f(x,y) = 4-x-y over det rektangulære området R: [0,2] x [0,1]. Vi skal beregne volumet V av legemet begrenset av flaten z = f(x,y) = 4-x- y og xy-planet over området R. Volumet V beregnes nå vha dobbeltintegralet: ʃʃf(x,y)dA. Vi deler området R opp i infinitesimale områder vha linjer parallelle mhv x- og y-aksen. Et infinitesimalt område dA (med valgt x og y) har nå areal gitt ved dA = dydx (eller dxdy, se neste side). f(x,y)dA = f(x,y)dydx er nå volumet av den smale, vertikale, grå stolpen med grunnareal dA = dydx og høyde f(x,y). Vi velger nå å summere bidragene fra slike smale stolper først langs y-aksen, dvs vi holder x konstant. Vi skal altså beregne dobbeltintegralet ʃʃf(x,y)dA ved å integrere først mht y, deretter mht til x, dvs vi skal beregne dobbeltintegralet ʃʃf(x,y)dydx. Vi beregner først det innerste integralet ʃf(x,y)dy ved å holde x konstant. Integranden er lik 4-x-y. Ved beregning av det innerste integralet (dvs integrasjon mht y) skal vi finne et uttrykk som partiellderivert mht y blir 4-x-y. Svaret er 4y-xy-1/2y2 siden dette uttrykket partiellderivert mht y blir 4-x-y. Deretter skal øvre grense 1 og nedre grense 0 settes inn for y i dette svaret med etterfølgende subtraksjon. Vi får svaret 7/2-x. Vi er nå ferdig med det innerste integralet. (7/2-x)dx er nå volumet av den smale, vertikale, grå skiven (med bredde dx) vist på figuren. Merk at svaret inneholder x som en variabel. Dette henger sammen med at volumet av denne smale skiven er avhengig av hvilken x som velges når vi først foretar integrasjonen mht y. Hvis x er liten (vi befinner oss nær yz-planet), så vil volumet av denne smalen skiven være større (pga uttrykket 72/-x) enn hvis vi velger en større verdi av x (vi befinner oss lengre fra yz-planet). Dette stemmer også bra med figuren siden vi har større høyde på denne smale skiven når vi befinner oss nær yz-planet. Neste trinn er nå å utføre det ytterste integralet, dvs beregne ʃ(7/2-x)dx. Vi skal altså summere bidraget fra alle slike smale skiver fra x = 0 til x = 2. På denne måten får vi nå volumet V av hele legemet. Vi skal nå lete etter et uttrykk som derivert mht x blir 7/2-x. Svaret er 7/2x2-1/2x2 siden dette uttrykket derivert blir 7/2-x. Til slutt må vi sette inn øvre og nedre grense (2 og 0 henholdvis) for x med etterfølgende subtraksjon. Vi får sluttsvaret V = 5 som nå er volumet av legemet. Vi har ingen benevning i vårt svar (det er heller ikke vanlig i en slik oppgaver). Hvis lengde-målene i denne oppgaven er gitt i meter, så vil volumet være 5 m3. [SWin] |
