| Multiple integraler | |
|
Vi har gitt funksjonen z = f(x,y) = 4-x-y over det rektangulære området R: [0,2] x [0,1]. Vi skal beregne volumet V av legemet begrenset av flaten z = f(x,y) = 4-x-y og xy-planet over området R. Volumet V beregnes nå vha dobbeltintegralet: ʃʃf(x,y)dA. Vi deler området R opp i infinitesimale områder vha linjer parallelle mhv x- og y-aksen. Et infinitesimalt område dA (med valgt x og y) har nå areal gitt ved dA = dxdy (eller dydx, se forrige side). f(x,y)dA = f(x,y)dydx er nå volumet av den smale, vertikale, grå stolpen med grunnareal dA = dydx og høyde f(x,y). Vi velger nå å summere bidragene fra slike smale stolper først langs x-aksen, dvs vi holder y konstant. Vi skal altså beregne dobbeltintegralet ʃʃf(x,y)dA ved å integrere først mht x, deretter mht til y, dvs vi skal beregne dobbeltintegralet ʃʃf(x,y)dxdy. Vi beregner først det innerste integralet ʃf(x,y)dx ved å holde y konstant. Integranden er lik 4-x-y. Ved beregning av det innerste integralet (dvs integrasjon mht x) skal vi finne et uttrykk som partiellderivert mht x blir 4-x-y. Svaret er 4x-1/2x2-yx siden dette uttrykket partiellderivert mht x blir 4-x-y. Deretter skal øvre grense 2 og nedre grense 0 settes inn for x i dette svaret med etterfølgende subtraksjon. Vi får svaret 6-2y. Vi er nå ferdig med det innerste integralet. (6-2y)dy er nå volumet av den smale, vertikale, grå skiven (med bredde dy) vist på figuren. Merk at svaret inneholder y som en variabel. Dette henger sammen med at volumet av denne smale skiven er avhengig av hvilken y som velges når vi først foretar integrasjonen mht x. Hvis y er liten (vi befinner oss nær xz-planet), så vil volumet av denne smalen skiven være større (pga uttrykket 6-2y) enn hvis vi velger en større verdi av y (vi befinner oss lengre fra xz-planet). Dette stemmer også bra med figuren siden vi har større høyde på denne smale skiven når vi befinner oss nær xz-planet. Neste trinn er nå å utføre det ytterste integralet, dvs beregne ʃ(6-2y)dy. Vi skal altså summere bidraget fra alle slike smale skiver fra y = 0 til y = 1. På denne måten får vi nå volumet V av hele legemet. Vi skal nå lete etter et uttrykk som derivert mht x blir 7/2-x. Svaret er 6y-y2 siden dette uttrykket derivert blir 6-2y. Til slutt må vi sette inn øvre og nedre grense for y (1 og 0 henholdvis) med etterfølgende subtraksjon. Vi får sluttsvaret V = 5 som nå er volumet av legemet. Vi har ingen benevning i vårt svar (det er heller ikke vanlig i en slik oppgaver). Hvis lengde-målene i denne oppgaven er gitt i meter, så vil volumet være 5 m3. [SWin] |
