Multiple integraler UiA Logo
[Hovedmeny][Forrige][Neste] [Streaming] [Powerpointslides] [Video/Sim]
Vi skal nå se på dobbeltintegral over ikke-rektangulære områder.
Ved et dobbeltintegral skal vi summere bidraget f(x,y)dA over hele integrasjonsområdet R.

På figuren svarer f(x,y)dA til volumet (grunnflate dA og høyde f(x,y)) av den vertikale, smale, grå stolpen fra xy-planet opp til grafen z = f(x,y).

Vi skal se på to ulike metoder for beregning av dobbelt-integralet over ikke-rektangulære områder:


1:
La oss anta at at området R er begrensen av to rette linjer parallelle med y-aksen og grafen til to funksjoner g1(x) og g2(x) (se figuren lengst til venstre). Integrasjonene (dvs summeringene) kan nå hensiktsmessig foregå først langs en rad parallell med y-aksen mens x holdes konstant, deretter summere bidraget fra slike 'y-rader' i x-retning.
Ved integrasjon først mht til y deretter mht x, skal vi beregne følgende dobbeltintegral:
ʃʃf(x,y)dydx. Vi beregner først det innerste integralet, dvs ʃf(x,y)dy. Når vi først integrerer (dvs summerer) mht y, holdes x konstant. Ved gitt valg av x (et sted i intervallet [a,b]) vil det innerste integralet ha nedre og øvre integrasjonsgrense g1(x) og g2(x) henholdsvis. Det ytterste integralet vil ha nedre og øvre integrasjonsgrense a og b henholdsvis.


2:
La oss anta at at området R er begrensen av to rette linjer parallelle med x-aksen og grafen til to funksjoner h1(y) og h2(y) (se figuren lengst til høyre). Integrasjonene (dvs summeringene) kan nå hensiktsmessig foregå først langs en rad parallell med x-aksen mens y holdes konstant, deretter summere bidraget fra slike 'x-rader' i y-retning.
Ved integrasjon først mht til x deretter mht y, skal vi beregne følgende dobbeltintegral:
ʃʃf(x,y)dxdy. Vi beregner først det innerste integralet, dvs ʃf(x,y)dx. Når vi først integrerer (dvs summerer) mht x, holdes y konstant. Ved gitt valg av y (et sted i intervallet [c,d]) vil det innerste integralet ha nedre og øvre integrasjonsgrense h1(y) og h2(y) henholdsvis. Det ytterste integralet vil ha nedre og øvre integrasjonsgrense c og d henholdsvis.