| Multiple integraler | |
|
Vi skal beregne volumet V av legemet begrenset av flaten z = f(x,y) = 3-x-y, xy-planet, xz-planet
og de to vertikale planene x = 1 og y = x. Volumet V beregnes nå vha dobbeltintegralet: ʃʃf(x,y)dA. Vi deler området R opp i infinitesimale områder vha linjer parallelle mhv x- og y-aksen. Et infinitesimalt område dA (med valgt x og y) har nå areal gitt ved dA = dydx (eller dxdy, se neste side). f(x,y)dA = f(x,y)dydx er nå volumet av den smale, vertikale, grå stolpen med grunnareal dA = dydx og høyde f(x,y). Vi velger nå å summere bidragene fra slike smale stolper først langs y-aksen, dvs vi holder x konstant. Vi skal altså beregne dobbeltintegralet ʃʃf(x,y)dA ved å integrere først mht y, deretter mht til x, dvs vi skal beregne dobbeltintegralet ʃʃf(x,y)dydx. Vi beregner først det innerste integralet ʃf(x,y)dy ved å holde x konstant. Integranden er lik 3-x-y. Ved beregning av det innerste integralet (dvs integrasjon mht y) skal vi finne et uttrykk som partiellderivert mht y blir 3-x-y. Svaret er 3y-xy-1/2y2 siden dette uttrykket partiellderivert mht y blir 3-x-y. Deretter skal øvre grense y=x og nedre grense 0 settes inn for y i dette svaret med etterfølgende subtraksjon. Vi får svaret 3x-3/2x2. Merk at uavhengig av valg av fast x ved det innerste integralet, vil y ha nedre grense 0. Derimot vi øvre grense for y være avhengig av valg av x, nemlig ved at denne øvre grensen er gitt ved y = x. Vi er nå ferdig med det innerste integralet. (3x-3/2x2)dx er nå volumet av den smale, vertikale, grå skiven (med bredde dx) vist på figuren. Merk at svaret inneholder x som en variabel. Dette henger sammen med at volumet av denne smale skiven er avhengig av hvilken x som velges når vi først foretar integrasjonen mht y. Neste trinn er nå å utføre det ytterste integralet, dvs beregne ʃ(3x-3/2x2)dx. Vi skal altså summere bidraget fra alle slike smale skiver fra x = 0 til x = 1. På denne måten får vi nå volumet V av hele legemet. Vi skal nå lete etter et uttrykk som derivert mht x blir 3x-3/2x2. Svaret er 3/2x2-1/2x3 siden dette uttrykket derivert blir 3x-3/2x2. Til slutt må vi sette inn øvre og nedre grense (1 og 0 henholdvis) for x med etterfølgende subtraksjon. Vi får sluttsvaret V = 1 som nå er volumet av legemet. [SWin] |
