| Multiple integraler | |
|
Vi skal beregne volumet V av legemet begrenset av flaten z = f(x,y) = 3-x-y, xy-planet, xz-planet
og de to vertikale planene x = 1 og y = x. Volumet V beregnes nå vha dobbeltintegralet: ʃʃf(x,y)dA. Vi deler området R opp i infinitesimale områder vha linjer parallelle mhv x- og y-aksen. Et infinitesimalt område dA (med valgt x og y) har nå areal gitt ved dA = dxdy (eller dydx, se neste side). f(x,y)dA = f(x,y)dxdy er nå volumet av den smale, vertikale, grå stolpen med grunnareal dA = dxdy og høyde f(x,y). Vi velger nå å summere bidragene fra slike smale stolper først langs x-aksen, dvs vi holder y konstant. Vi skal altså beregne dobbeltintegralet ʃʃf(x,y)dA ved å integrere først mht x, deretter mht til y, dvs vi skal beregne dobbeltintegralet ʃʃf(x,y)dxdy. Vi beregner først det innerste integralet ʃf(x,y)dx ved å holde y konstant. Integranden er lik 3-x-y. Ved beregning av det innerste integralet (dvs integrasjon mht x) skal vi finne et uttrykk som partiellderivert mht x blir 3-x-y. Svaret er 3x-1/2x2-1/2y2 -yx siden dette uttrykket partiellderivert mht y blir 3-x-y. Deretter skal øvre grense x=1 og nedre grense x=y settes inn for x i dette svaret med etterfølgende subtraksjon. Vi får svaret 3/2y2-4y+5/2. Merk at uavhengig av valg av fast y ved det innerste integralet, vil x ha øvre grense 1. Derimot vi nedre grense for x være avhengig av valg av y, nemlig ved at denne nedre grensen er gitt ved x = y. Vi er nå ferdig med det innerste integralet. (3/2y2-4y+5/2)dy er nå volumet av den smale, vertikale, grå skiven (med bredde dx) vist på figuren. Merk at svaret inneholder y som en variabel. Dette henger sammen med at volumet av denne smale skiven er avhengig av hvilken y som velges når vi først foretar integrasjonen mht x. Neste trinn er nå å utføre det ytterste integralet, dvs beregne ʃ(3/2y2-4y+5/2)dy. Vi skal altså summere bidraget fra alle slike smale skiver fra y = 0 til y = 1. På denne måten får vi nå volumet V av hele legemet. Vi skal nå lete etter et uttrykk som derivert mht y blir 3/2y2-4y+5/2. Svaret er 1/2y3-2y2+5/2y siden dette uttrykket derivert mht y blir 3/2y2-4y+5/2. Til slutt må vi sette inn øvre og nedre grense (1 og 0 henholdvis) for y med etterfølgende subtraksjon. Vi får sluttsvaret V = 1 som nå er volumet av legemet. [SWin] |
