| Multiple integraler | |
|
Ett av problemene ved multiple integraler er grensesettinger. La oss derfor se litt nærmere på dette. På figuren lengst til venstre har vi et dobbelt-integral ʃf(x,y)dA som skal beregnes over et område R som er begrenset av sirkelperiferien x2 + y22 = 1 i første kvadrant og den rette linjen y = 1-x. I den midterste figuren beregner vi dobbeltintegralet ved først å integrere mht y. Vi velger oss et infinitesimalt område med areal dA i R (lite område med mørk grå farge). Dette området skal vi nå summere (integrere) i y-retning for en fast x. y vil da løpe mellom y=1-x og y=(1-x2)1/2, dvs nedre grense for y vil være 1-x og øvre grense vil være (1-x2)1/2. Det vertikale, lyse grå området (det mørke grå området inkludert) vil nå være det området vi har integrert over i det innerste integralet. Deretter skal vi nå (ved beregning av det ytterste integralet) summere bidragene fra alle slike smale vertikale striper helt fra x = 0 til x = 1, dvs grensene på det ytterste integralet vil være 0 (nedre grense) og 1 (øvre grense). I figuren lengst til høyre beregner vi dobbeltintegralet ved først å integrere mht x. Vi velger oss et infinitesimalt område med areal dA i R (lite område med mørk grå farge). Dette området skal vi nå summere (integrere) i x-retning for en fast y. x vil da løpe mellom x=1-y og x=(1-y2)1/2, dvs nedre grense for x vil være 1-y og øvre grense vil være (1-y2)1/2. Det horisontale, lyse grå området (det mørke grå området inkludert) vil nå være det området vi har integrert over i det innerste integralet. Deretter skal vi nå (ved beregning av det ytterste integralet) summere bidragene fra alle slike smale horisontale striper helt fra y = 0 til y = 1, dvs grensene på det ytterste integralet vil være 0 (nedre grense) og 1 (øvre grense). |
