| Multiple integraler | |
|
Vi fortsetter våre grensebetraktninger i multiple integraler fra forrige side. På figuren lengst til venstre har vi et dobbelt-integral ʃf(x,y)dA som skal beregnes over et område R som i første kvadrant er begrenset av parabelkurven y = x2 og den rette linje y = 2x. I den midterste figuren beregner vi dobbeltintegralet ved først å integrere mht y. Vi velger oss et infinitesimalt område med areal dA i R (lite område med mørk grå farge). Dette området skal vi nå summere (integrere) i y-retning for en fast x. y vil da løpe mellom y=x2 og y=2x, dvs nedre grense for y vil være x2 og øvre grense vil være 2x. Det vertikale, lyse grå området (det mørke grå området inkludert) vil nå være det området vi har integrert over i det innerste integralet. Deretter skal vi nå (ved beregning av det ytterste integralet) summere bidragene fra alle slike smale vertikale striper helt fra x = 0 til x = 2 (tallet 2 fremkommer som x-koordinaten til skæringspunktet mellom de to kurvene), dvs grensene på det ytterste integralet vil være 0 (nedre grense) og 2 (øvre grense). I figuren lengst til høyre beregner vi dobbeltintegralet ved først å integrere mht x. Vi velger oss et infinitesimalt område med areal dA i R (lite område med mørk grå farge). Dette området skal vi nå summere (integrere) i x-retning for en fast y. x vil da løpe mellom x=y/2 og x=y1/2, dvs nedre grense for x vil være y/2 og øvre grense vil være y1/2. Det horisontale, lyse grå området (det mørke grå området inkludert) vil nå være det området vi har integrert over i det innerste integralet. Deretter skal vi nå (ved beregning av det ytterste integralet) summere bidragene fra alle slike smale horisontale striper helt fra y = 0 til y = 4 (tallet 4 fremkommer som y-koordinaten til skæringspunktet mellom de to kurvene), dvs grensene på det ytterste integralet vil være 0 (nedre grense) og 4 (øvre grense). |
