| Multiple integraler | |
|
Vi fortsetter våre grensebetraktninger i multiple integraler fra de to foregående sidene. På figuren lengst til venstre har vi et dobbelt-integral ʃf(x,y)dA som skal beregnes over et område R som i første og andre kvadrant er begrenset av parabelkurven y = x2 og den rette linje y = x+2. I den midterste figuren beregner vi dobbeltintegralet ved først å integrere mht y. Vi velger oss et infinitesimalt område med areal dA i R (lite område med mørk grå farge). Dette området skal vi nå summere (integrere) i y-retning for en fast x. y vil da løpe mellom y=x2 og y=2x, dvs nedre grense for y vil være x2 og øvre grense vil være x+2. Det vertikale, lyse grå området (det mørke grå området inkludert) vil nå være det området vi har integrert over i det innerste integralet. Deretter skal vi nå (ved beregning av det ytterste integralet) summere bidragene fra alle slike smale vertikale striper helt fra x = -1 til x = 2 (tallene -1 og 2 fremkommer som x-koordinatene til skæringspunktene mellom de to kurvene), dvs grensene på det ytterste integralet vil være -1 (nedre grense) og 2 (øvre grense). I figuren lengst til høyre beregner vi dobbeltintegralet ved først å integrere mht x. Vi velger oss et infinitesimalt område med areal dA i R (lite område med mørk grå farge). Dette området skal vi nå summere (integrere) i x-retning for en fast y. x vil ha øvre grense x=(y)1/2 uavhengig av valg av y. Så kommer imidlertid en liten overraskelse: Hvis vår valgte y er mindre enn 1, så vil den nedre grensen for x være x=-(y)1/2, mens den nedre grensen for x vil være x=y-2 hvis den valgte y er større enn (eller lik) 1. Det betyr at vi ved integrasjon mht x først, må dele dobbeltintegralet opp i to deler, en del for y mindre enn 1 (og hvor y-grensene vil være 0 og 1) og en del for y større enn (eller lik) 1 (og hvor y-grensene vil være 1 og 4 (y-tallene 1 og 4 fremkommer som y-koordinatene til skjæringspunktene mellom de to kurvene)). Her ser vi et eksempel hvor arbeidsmengden blir litt ulik avhengig av hvorvidt vi først integrerer mht x eller y. |
