Multiple integraler

Vi skal vha dobbeltintegral beregne arealet av det området R som er avgrenset av parabelen y = x² og den rette linjen y = x.

Vi lager oss et infinitesimalt område med areal dA i R.
Arealet av R vil da være en summering (dvs en dobbeltintegrering) av alle slike infinitesimale områder over hele området R, dvs arealet A kan skrives som:

A = ʃʃdA

Vi kan også se denne arealformelen på en annen måte:
I noen av våre tidligere dobbeltintegral-eksempler har vi beregnet volum ved: V = ʃʃf(x,y)dA.
I arealformelen ovenfor er f(x,y)=1, dvs vi finner volumet av et legeme med konstant høyde lik 1 over området R.
Måltallet (når vi altså ser bort fra benevning) for dette integralet vil være lik måltallet for arealet av R.

La oss nå beregne det etterspurte arealet:

Vi deler området R opp i infinitesimale områder vha linjer parallelle mhv x- og y-aksen.
Et infinitesimalt område dA (med valgt x og y) har nå areal gitt ved dA = dydx (eller dydx).
Arealet dA=dxdy er nå illustrert ved den lille (egentlig infinitesimale), mørke grå flaten på figuren.
Vi velger nå å summere bidragene fra slike infinitesimale områder først langs y-aksen, dvs vi holder x konstant. Vi skal altså beregne dobbeltintegralet ʃʃdA ved å integrere først mht y, deretter mht til x, dvs vi skal beregne dobbeltintegralet ʃʃdydx.

Vi beregner først det innerste integralet ʃdy ved å holde x konstant.
Integranden er lik 1.
Ved beregning av det innerste integralet (dvs integrasjon mht y) skal vi finne et uttrykk som partiellderivert mht y blir 1. Svaret er y siden den deriverte av y mhp y er 1.
Deretter skal øvre grense y=x og nedre grense y=x² settes inn for y i dette svaret med etterfølgende subtraksjon.
Vi får svaret x-x².

Merk at arbeidet videre herfra nå er arealberegning vha enkeltintegral slik man lærer på videregående skole.
Det kan derfor se ut til at vi her (på universitetsnivå) beregner arealer på en mer tungvint måte enn man lærer på tidligere klassetrinn.
Til dette kan vi si at metoden vist på denne siden har sine store fordeler når integrasjonsområdene blir mer kompliserte.

Vi er nå ferdig med det innerste integralet.
(x-x²)dx er nå arealet av den smale, vertikale, grå stripen (med bredde dx) vist på figuren.
Merk at svaret inneholder x som en variabel. Dette henger sammen med at arealet av denne smale stripen er avhengig av hvilken x som velges når vi først foretar integrasjonen mht y.

Neste trinn er nå å utføre det ytterste integralet, dvs beregne ʃ(x-x²)dx.
Vi skal altså summere bidraget fra alle slike smale striper fra x = 0 til x = 1.
På denne måten får vi nå arealet A av hele området R.
Vi skal nå lete etter et uttrykk som derivert mht x blir x-x².
Svaret er 1/2x²-1/3x³ siden dette uttrykket derivert mht x blir x-x².
Til slutt må vi sette inn øvre og nedre grense (1 og 0 henholdvis) for x med etterfølgende subtraksjon.
Vi får sluttsvaret A = 1/6 som nå er arealet av området R.