| Multiple integraler | |
|
Vi skal vha dobbeltintegral beregne arealet av det området R som er avgrenset av parabelen y = x2
og den rette linjen y = x+2. Vi lager oss et infinitesimalt område med areal dA i R. Arealet av R vil da være en summering (dvs en dobbeltintegrering) av alle slike infinitesimale områder over hele området R, dvs arealet A kan skrives som: A = ʃʃdA Vi deler området R opp i infinitesimale områder vha linjer parallelle mhv x- og y-aksen. Et infinitesimalt område dA (med valgt x og y) har nå areal gitt ved dA = dydx (eller dydx). Arealet dA=dxdy er nå illustrert ved den lille (egentlig infinitesimale), mørke grå flaten på figuren. Vi velger nå å summere bidragene fra slike infinitesimale områder først langs y-aksen, dvs vi holder x konstant. Vi skal altså beregne dobbeltintegralet ʃʃdA ved å integrere først mht y, deretter mht til x, dvs vi skal beregne dobbeltintegralet ʃʃdydx. Merk at hvis vi hadde valgt omvendt integrasjonsrekkefølge, måtte vi ha delt integrasjonsområdet opp i to deler. Vi beregner først det innerste integralet ʃdy ved å holde x konstant. Integranden er lik 1. Ved beregning av det innerste integralet (dvs integrasjon mht y) skal vi finne et uttrykk som partiellderivert mht y blir 1. Svaret er y siden den deriverte av y mhp y er 1. Deretter skal øvre grense y=x+2 og nedre grense y=x2 settes inn for y i dette svaret med etterfølgende subtraksjon. Vi får svaret x+2-x2. Vi er nå ferdig med det innerste integralet. (x+2-x2)dx er nå arealet av den smale, vertikale, grå stripen (med bredde dx) vist på figuren. Merk at svaret inneholder x som en variabel. Dette henger sammen med at arealet av denne smale stripen er avhengig av hvilken x som velges når vi først foretar integrasjonen mht y. Neste trinn er nå å utføre det ytterste integralet, dvs beregne ʃ(x+2-x2)dx Vi skal altså summere bidraget fra alle slike smale striper fra x = -1 til x = 2. På denne måten får vi nå arealet A av hele området R. Vi skal nå lete etter et uttrykk som derivert mht x blir x+2-x2. Svaret er 1/2x2+2x-1/3x3 siden dette uttrykket derivert mht x blir x+2-x2. Til slutt må vi sette inn øvre og nedre grense (2 og -1 henholdvis) for x med etterfølgende subtraksjon. Vi får sluttsvaret A = 9/2 som nå er arealet av området R. |
