| Multiple integraler | |
|
Fra forrige side har vi følgende uttrykk for gjennomsnittet av n tall a1, a2, a3, ... , an: Gjsnitt = 1/n·Ʃai Hvordan beregner vi (eller mer presist: Hvordan vil vi definere) gjennomsnittet av en mengde tall som ligger tett og som ikke er tellbare? Et eksempel på dette er gjennomsnittsberegning av alle reelle tall fra og med 0 til og med 10, dvs beregne gjennomsnittet av alle reelle tall i intervallet [0,10]. Vi vet at intervallet [0,10] har vi uendelig mange tall som ligger helt tett og de er ikke tellbare. Videre vet vi at ved overgang av summering av diskrete elementer til kontinuerlige elementer, erstattes summetegn Ʃ av integraltegn &# 643. Derfor vil det være nærliggende å definere gjennomsnittet av alle reelle tall x i et intervall [0,L] som integralet av x fra 0 til L delt på lengden L av intervallet: Gjennomsnitt = 1/L·ʃxdx La oss bruke denne definisjonen av gjennomsnitt til beregning av alle reelle tall i intervallet [0,10]: Gjennomsnitt = 1/10·ʃxdx hvor integrasjonen foregår mellom 0 og 10. Dette gir gjennomsnitt lik 5 (se øverste eksempel i figuren), et resultat som må sies å være forventet. Eksempel nr 2 viser gjennomsnittsberegning av sinx i intervallet [0,π]. Svaret er 2/π. Vi vet at sinx i intervallet [0,π] ligger mellom 0 og 1, så kanskje skulle man forvente at resultatet blir 0.5. 2/π er imidlertid større enn 0.5. Grunnen til av gjennomsnittsverdien er større enn 0.5, er at sin i store deler av intervallet [0,π] ligger over verdien 0.5. Allerede ved x = 1/6·π passerer sinx verdien 0.5 på vei oppover og holder seg over 0.5 helt til x = 5/6·π.[0,π]. Eksempel nr 3 viser gjennomsnittsberegning av cos2x i intervallet [0,2π]. Svaret er 1/2. Denne beregningen benyttes bl.a. innen elektrisitet med beregning av gjennomsnittseffekt. |
