| Multiple integraler | |
|
Vi skal beregne massen M av et legeme i planet. Vi tenker oss at vi deler legemet inn i infinitesimale ('svært små') deler hvor hver del da har en infinitesimal masse. La dm være massen til et slikt infinitesimalt element. Massen M av hele legemet vil da være summen av alle slike infinitesimale masse-elementer. Siden disse masse-elementene er kontinuerlig fordelt, vil denne summeringen være det samme som integrering over hele det legemet. Massen av hele legemet vil derfor være: M = ʃʃdm Hvis vi nå tenker oss at tettheten (massen pr areal når vi tenker to dimensjoner, massen pr volum når vi tenker tre dimensjoner) av dette legemet er δ (generelt en funksjon av x og y i to dimensjoner, en funksjon av x,y og z i tre dimensjoner), har vi: dm = δ(x,y)dA. Herav får vi: M = ʃʃdm = ʃʃδdA = ʃʃδ(x,y)dA Hvis massetettheten er konstant, kan δ settes utenfor integraltegnet. Fra fysikken er det velkjent at posisjonsvektoren rcm til massesenteret for et legeme er gitt ved: rcm = 1/M·ʃʃrdm hvor r er vektoren fra origo ut til det infinitesimale elementet med masse dm. Massesenterets x- og y-koordinat vil da være gitt ved: xcm = 1/M·ʃʃxdm ycm = 1/M·ʃʃydm |
