Multiple integraler

Vi skal se litt på bruk av polar form i dobbeltintegral.

I forbindelse med dobbeltintegral (eller multiple integraler generelt) er rekangulære integrasjonsområder grensemessig enkle å behandle.
La oss se litt på integrasjonsområde R vist i figuren øverst til venstre.
Ved integrasjon mht til x og y (uavhengig av rekkefølge), vil et dobbeltintegral her måtte deles opp i tre deler.

Spørsmålet er nå:
Kan vi foreta et variabelskifte slik at vi får et enklere integrasjonsområde (helst et rektangulært område)? Med området R som vist på figuren er svaret ja, vi kan benytte polarkoordinater slik at vi får et rektangulært område G.
Det kan kanskje være fristende å tro at dxdy bar kan byttes ut med drdθ.
Dessverre er det litt mer komplisert, ikke overraskende må vi inn med en korreksjonsfaktor siden områdene R og G ikke er like.
La oss se på et infinitesimalt område i R med samme form som R (dette er en litt annen fremgangsmåte (men gir selvfølgelig samme resultat) enn vist i beregningene i figuren).
Med bruk av buelengde=radius·θ, får vi at arealet av dette infinitesimale området er lik rdrdθ.
Dermed ser vi at den nevnte korreksjonsfaktoren er lik r.
Merk videre at for fiksert θ vil r løpe mellom grensene a og b. θ vil løpe mellom grensene α og β.
Dermed kan dA byttes ut med rdrdθ og grensene blir som vist i den innrammede formen i figuren.