Multiple integraler

Vi har gitt den polare ligningen r²2 = 4cos(2θ) hvor &# ligger i det lukkede intervallet [0,2π].
Vi skal bestemme arealet A av det område R som denne kurven omslutter.

Løst mht til r, får vi: r = ±(4cos(2θ))^1/2.
Bruk av både + og - i ±, gir samme graf.
La oss derfor se kun på bruk av r = (4cos(2θ))^1/2
For θ=0 får vi r = 2.
Den minste verdien av θ som gir r=0 er θ=π/4.
I intervallet <π/4,3/4π> er cos(2θ) negativ, derfor får vi ingen verdi for r i dette intervallet.
Derimot fortsetter grafen i 2.kvadrant når &# løper fra 3/4π.
Den endelige grafen blir som vist på figuren øverst til venstre (rød farge).
Av symmetrigrunner ser vi at grafen er symmetrisk både om x- og y-aksen samt om origo.
Derfor er arealet 4 ganger arealet omsluttet av x-aksen og grafen i 1.kvadrant.