Multiple integraler

Vi tenker oss et tredimensjonalt objekt T.
Vi skal forsøke å bestemme volum og masse av dette legemet samt gjennomsnittsverdien av en funksjon f over dette legemet.

Volum:
vi tenker oss at vi deler legemet T opp i svært små deler.
La oss for enkelhets skyld tenke oss at hver av disse små legemene er er liten terning.
Volumet av en vilkårlig del av dette legemet kaller vi ΔV.
Hvis vi nå summerer alle slike ΔV over hele legemet, vil vi tilnærmet få volumet av hele legemet T (merk kun tilnærmet siden hvert lille legeme er tenkt som en liten terning og en sum av slike vil ikke nødvendigvis nøyaktig utfylle legemet T som gjerne kan ha en mer buet overflate).
Hvis vi derimot lar hvert lille legeme bli stadig mindre, vil vi ved summering kunne nærme oss mer og mer mot legemet T.
I grensetilfellet for ΔV går mot null vil vi ved summering kunne komme så nær opp til legemet T som vi måtte ønske.
Summering i dette grensetilfellet svarer til integrering.
Volumet av legemet vil derfor være en summering over hele det tredimensjonale legemet (derfor et trippelintegral) av infinitesimale volumelementer dV.

Masse:
Vi tenker på samme måte som ved volumberegning, men denne gang skal vi summere (dvs trippelintegrere) infinitesimale masser dm over hele legemet.
Vi lar nå massetettheten (masse pr volumenhet) være lik δ. Denne massetettheten kan vi tenke oss varierer over legemet, dvs er en funksjon av x,y og z.
Videre lar vi volumet av en infinitesimal del av legemet være dV.
I grensetilfellet kan vi betrakte massetettheten som konstant over dette infinitesimale volumelementet.
Massen dm av dette infinitesimale volumelementet vil da være lik massetettheten δ multiplisert med dV, dvs δdV.
Massen av hele legemet får vi nå ved å summere, dvs trippelintegrere δdV over hele legemet T.

Gjennomsnitt:
La oss tenke oss en kontinuerlig funksjon f over legemet T (f kan f.eks. være temperaturfordelingen over dette legemet T).
Gjennomsnittsverdien av f over legemet T får vi nå ved å multiplisere f med et infinitesimalt volumelement dV, summere (dvs trippelintegrere) dette over hele legemet T og deretter dele dette resultatet med volumet V av hele legemet.