| Multiple integraler | |
|
Vi skal beregne volumet V av legemet T som er begrenset av de to paraboloidene: z = x2 + 3y2 z = 8 - x2 - y2 Den førstnevnte paraboloiden er elliptisk, med bunnpunkt i origo. Den andre paraboloiden er symmetrisk om z-aksen med topp-punkt i punktet (0,0,8). Skæringskurven mellom de to flatene finner vi ved å sette de to uttrykkene for z lik hverandre. Vi får da ligningen: x2/4 + y2/2 = 1 dvs projeksjonen ned i xy-planet av skjæringskurvene til de to paraboloidene er en ellipse med sentrum i origo og halvakser 2 og 21/2. Volumet V kan vi nå skrive som følgende trippel-integral: ʃʃʃdzdydx hvor grensene for det innerste integralet (mht z) er gitt ved de to paraboloideflatene, for det andre integralet (mht y) er gitt ved de to delene (funksjonene) av ellipsekurven og hvor det ytterste integralet (mht x) er gitt ved grensene -2 og 2. Figuren viser beregning av volumet av legemet T. Detaljregning fra den siste linjen er vist på neste side. |
