| Multiple integraler | |
|
Vi har tidligere i dette kapitlet sett på ulike koordinatsystemer og dermed ulike substitusjoner. Vi skal nå se litt mer generelt på substitusjoner i forbindelse med multiple integraler. Vi har sett at ulike korreksjonsfaktorer i forbindelse med multiple integraler: - Polarkoordinater: r - Sylinderkoordinater:r - Kulekoordinater: ρ2sinφ Resultatet av disse mer generelle betraktningene viser at korreksjonsfaktoren for alle multiple integraler kan uttrykkes vha en såkalt Jacobi-determinant Jr. En tilsvarende determinant Jr-1 kan i noen sammenhenger være hensiktsmessig for å bestemme Jr (kan kun brukes ved en en-entydig avbilding) ved at produktet av Jr-1 og Jr-1 er lik 1. Enkeltintegral: Figuren øverst til venstre viser et intervall S (på x-aksen) hvor den opprinnelige enkeltintegrasjonen skal foregå. I tillegg vises det transformerte intervallet G (på u-aksen) hvor det transformerte integralet skal utføres. Videre vises en transformasjon x = g(u) fra G til S. Dobbeltintegral: Figuren nederst til venstre viser et område S (i xy-planet) hvor den opprinnelige dobbeltintegrasjonen skal foregå. I tillegg vises det transformerte området G (i uv-planet) hvor det transformerte integralet skal utføres. Videre vises en transformasjon x = g(u,v), y = h(u,v) fra G til S. På de to neste sidene vises hvordan Jacobi-determinanten ser ut for henholdsvis dobbeltintegral og trippelintegral. |
