Multiple integraler

Vi skal se litt nærmere på hvordan Jacobi-determinanten (korreksjonsfaktoren) ser ut for dobbeltintegraler.

Figuren viser et område S (i posisjon (x,y) i xy-planet) hvor den opprinnelige dobbeltintegrasjonen skal foregå.
I tillegg vises det transformerte området G (i uv-planet) hvor det transformerte integralet skal utføres.
Videre vises en transformasjon r = r(u,v) eller x = g(u,v), y = h(u,v) fra G til S.
I området S vises et lite område ΔS.
Tilhørende område ΔG i posisjon (a,b) i G tenker vi oss for enkelhetsskyld er rektangulært med sidekanter lik Δu og Δv.

Vi tenker oss nå at (a,b) i G transformeres til punktet r(a,b) i S.
Tilsvarende vil de tre andre hjørnene i ΔG transformeres til tre tilhørende punkter i ΔS.
Arealet ΔS er tilnærmet lik lengden av kryssproduktet av de to transformerte sidene i G som springer ut fra r(a,b).
Beregningene på denne siden viser nå korreksjonsfaktoren (absoluttverdien av Jacobi-determinanten J_r) når vi regner om fra ΔS til ΔG = ΔuΔv.
Vi ser også tilhørende uttrykk for den inverse Jacobi-determinanten.