| Vektor kalkulus | |
|
Vi skal definere en matematisk operator ∇, kalt del-operator representert ved det såkalte nabla symbolet (en liten likesidet trekant
med 'spissen' ned). Denne operatoren er en slags utvidelse av derivasjonsoperatoren og har et stort anvendelesområde. Del-operatoren en såkalt vektor-operator idet den er en vektor med tre komponenter hvor hver komponent er en derivasjons-operator. Den første komponenten er den partiellderiverte mht x, den andre komponenten er den partiellderiverte mht y og den tredje komponenten er den partiell deriverte mht z. ∇ = [∂/∂x,∂/∂y,∂/∂z] Merk at hver komponent forteller hva vi skal derivere mhp, men ikke hva vi skal derivere. På den måten fungerer del-operatoren alene som en slags ufullstendig vektor, den gir mening først når vi anvender operatoren på noe. Dette 'noe' som del-operatoren skal anvendes på kan være en skalarfunksjon eller en vektorfunksjon. Vi skal se på tre ulike bruksmåter (operasjoner) av del-operatoren. Gradient ∇f : Vi anvender del-operatoren på en skalarfunksjon f og får en vektor ∇f, kalt gradientvektoren til f (eller gradienten til f). Første komponenten til gradienten til f består av den partiellderiverte av f mhp x, andre komponenten består av den partiellderiverte av f mhp y og den tredje komponenten består av den partiellderiverte av f mhp z. Gradienten til f er nær knyttet til endringer/variasjoner av den skalare funksjonen f. Merk at hvis f er en funksjon av en variabel, så sammefaller gradienten til f med den deriverte av f. Divergens ∇·F : Vi anvender del-operatoren på en vektor F og får en skalarfunksjon, kalt divergensen til F, ved skalarmultiplikasjon mellom del-operatoren og vektoren F. Divergensen til F er nær knyttet til fluks, dvs gjennomstrøming av vektorfelt gjennom flater. Curl ∇xF : Vi anvender del-operatoren på en vektor F og får en ny vektor, kalt curl til F, ved vektormultiplikasjon (kryssprodukt) mellom del-operatoren og vektoren F. Curl til F er nær knyttet til rotasjon. |
