| Vektor kalkulus | |
|
På de to foregående sidene studerte vi såkalte konservative vektorfelt (vei-uavhengig) og gradientfelt. Som eksempel nevnte vi at gravitasjonsfeltet rundt jordkloden både er et konservativt vektorfelt og et gradientfelt og antydet at det kanskje er en sammenheng mellom et konservativt vektorfelt og et gradientfelt. På denne bekreftes denne sammenhengen. Vi tenker oss et vektorfelt F som er definert i et åpent område D. Vi har følgende teorem: Det finnes en skalarfunksjon f slik at F er lik gradienten til f er ekvivalent med at kurveintegralet av skalarproduktet av F og dr langs en vilkårlig kurve C i D er vei-uavhengig. Dette betyr at ethvert konservativt vektorfelt også er et gradientfelt og ethvert gradientfelt er et konservativt vektorfelt. På denne siden vises kun halve beviset for dette teoremet, nemlig at hvis et vektorfelt er et gradientfelt, kurveintegralet av skalarproduktet av F og dr langs en vilkårlig kurve C i D er vei-uavhengig og dermed F konservativ. Anta at vårt vektorfelt er et gradientfelt. Da eksisterer en skalarfunksjon f slik at F kan skrives som gradienten til f. I kurveintegralet av skalarproduktet av F og dr erstattes så F med gradienten til f samtidig som dr kan skrives som dr/dt*dt. Etter utført skalarprodukt, får vi da integralet av df som er lik f innsatt øvre og nedre grense (endpunkt B og startpunkt A henholdsvis). Dette viser at kurveintegralet er vei-uavhengig. Dermed er vektorfeltet konservativt. |
