| Vektor kalkulus | |
|
På foregående side påviste vi sammenhengen mellom et konservativt vektorfelt og et gradientfelt. På denne siden skal vi se på sammenhengen mellom et konservativt vektorfelt og integralet av slike vektorfelt langs en lukket kurve. Vi tenker oss et vektorfelt F som er definert i et åpent område D. Vi har følgende teorem: Kurveintegralet langs enhver lukket kurve C i DD er lik null hvis og bare hvis F er konservativ på D. Med teormet fra forrige side har vi nå: At et vektorfelt er et konservativt vektorfelt (vei-uavhengig) er ensbetydende med at vektorfeltet er et gradientfelt som igjen er ensbetydende med at ethvert kurveintegral av vektorfeltet langs en lukket kurve C i D er lik null. Bevis: Vi har en lukket kurve C i D. Kurven har start- og ende-punkt A. La B være et vilkårlig punkt på kurven C. Vi deler kurven C opp i en kurve C1 som går fra A til B og en kurve C2 som går fra B til A. Kurveintegralet (av F) som går langs den den lukkede kurven C og som er lik null er ekvivalent med at summen av kurveintegralene langs C1 og C2 er lik null. Ved å flytte kurveintegralet langs C2 over på den andre siden av likhetstegnet, får vi at dette videre er ekvivalent med at kurveintegralet langs C1 er lik minus kurveintegralet langs C2. Ved å skifte tegn på høyre side samtidig som kurvetraverseringen langs C2 utføres i motsatt retning, får vi at dette videre er ekvivalent med at kurveintegralet langs C1 er lik kurveintegralet langs C2 i motsatt retning (dvs fra A til B). Dette er altså ekvivalent med at kurveintegralet fra A til B langs C1 er lik kurveintegralet fra A til B langs C2, dvs vei-uavhengig. |
