| Vektor kalkulus | |
|
På denne siden og de to neste sidene gjennomføres et bevis for likhet mellom curl og sirkulasjonsstetthet. Vi har gitt et vektorfelt F = [F1,F2]. Vi tar utgangspunkt i et infinitesimalt rektangel med nedre venstre hjørne i posisjon (x,y) og med lengde Δx og bredde Δy. Langs den nedre rektangellinjen betrakter vi vektorfeltet som konstant lik F1 = F(x,y). Langs den høyre rektangellinjen betrakter vi vektorfeltet som konstant lik F2 = F(x+Δx,y). Langs den øvre rektangellinjen betrakter vi vektorfeltet som konstant lik F3 = F(x,y+Δy). Langs den venstre rektangellinjen betrakter vi vektorfeltet som konstant lik F4 = F(x,y). Obs: Må ikke forveksle vektorene F1 og F2 med komponentene F1 og F2. Lang den nedre rektangellinjen er enhetstangenten langs rektangelet lik i. Lang den høyre rektangellinjen er enhetstangenten langs rektangelet lik j. Lang den øvre rektangellinjen er enhetstangenten langs rektangelet lik -i. Lang den venstre rektangellinjen er enhetstangenten langs rektangelet lik -j. Strømningen i positiv retning (mot klokka i rektangelet) langs en rektangelside vil nå være lik vektorfeltets komponent langs denne siden (denne komponenten får vi frem ved å multiplisere vektorfeltet med tilhørende enhetstangent) multiplisert med lengden (Δx eller Δy) av denne siden. Netto strømning (nå sirkulasjon siden vi går i en lukket kurve) ΔC langs rektangelet får vi nå ved å summere netto strømning langs alle de fire rektangelsidene. |
