Vektor kalkulus UiA Logo
[Hovedmeny][Forrige][Neste] [Streaming] [Powerpointslides] [Video/Sim]
Frem til nå, har vi sett på vektorfelt med kontinuerlige partiellderiverte komponenter.
Vi skal nå generalisere Greens teorem ved også å inkludere i det indre området av vår lukkede kurve C1 punkter (såkalte hull) hvor betingelsene om kontinuerlige partiellderiverte komponenter ikke er oppfylt.
La oss i første omgang se på et tilfelle hvor vi har kun ett slikt hull.

vi løser vårt problem ved å innføre en lukket kurve C2 rundt hullet, men denne gang med retning i negativ omløpsretning, dvs med klokka.
På vår opprinnelige kurve C1 merker vi av to punkter A og B.
Fra A inn til et punkt A' på kurven C2 lager vi en vei J2.
Fra et punkt B' på kurven C2 ut til B' på kurven C1 lager vi en vei J1.
Kurven C12 er den delen av kurven C1 som går fra A til B.
Kurven C11 er den delen av kurven C1 som går fra B til A.
Kurven C21 er den delen av kurven C2 som går fra A' til B'.
Kurven C22 er den delen av kurven C2 som går fra B' til A'.

Den lukkede kurven C11 + J2 + C12 + J1 vil ha positiv omløpsretning og omkranse et indre område R1 som ikke inneholdet hullet.
Den lukkede kurven C12 - J1 + C22 - J2 vil ha positiv omløpsretning og omkranse et indre område R2 som ikke inneholdet hullet.
Vi kan nå benytte Greens teorem på hvert av de to områdene.
La R være området dannet av unionen av områdene R1 og R1.
Dobbeltintegralet over R vil nå være summen av dobbeltintegralene over R1 og R2.
Vi benytter Greens teorem på hvert av de to områdene R1 og R2.
I disse to integralene vil integralene langs J1 og J2 kanselleres siden begge dukker opp to ganger med motsatt fortegn (motsatt integrasjonsretning).
Som nettoresultat sitter vi igjen med summen av integralet langs C1 og integralet langs C2, det sistnevnte med negativ omløpsretning (med klokka).