| Vektor kalkulus | |
|
Vi fikk i oppdrag å bestemme hvilken lukket kurve C orientert i positiv retning (mot klokka) i planet
som gir minimumsverdi av integral langs C av (4y2x-2x)dy-(x2y+3x-2y)dx. På forrige siden omformet vi vha tangentiellformen av Greens teorem vårt kurveintegral til et dobbeltintegral over det området R som omkranses av den lukkede kurven C. Dette fikk vi til ved å konstruere et vektorfelt gitt ved: F = [F1,F2] = [-(x2y+3x-2y),4y2x-2x] Beregningene på forrige side viste at vårt kurveintegral nå kan omskrives til dobbeltintegralet over området R av x2+4y2-4. Integranden x2+4y2-4 lik null kan omformes til x2/22+y2/12 = 1 som er en ellipse med sentrum i origo og halvakser lik 2 og 1 henholdvis (se fig). Siden integranden i dobbeltintegralet over R er null på ellipsen C, positiv utenfor ellipsen C og negativ innenfor ellipsen C, så vil dobbeltintegralet (summeringen) gi en minimum verdi når området R er området innenfor den gitt ellipsen C.  Vektorfelt |
