Vektor kalkulus UiA Logo
[Hovedmeny][Forrige][Neste] [Streaming] [Powerpointslides] [Video/Sim]
Arealet av et område R avgrenset av en lukket kurve C i planet er gitt ved dobbeltintegralet av dA over området R.
På denne siden viser vi det samme arealet kan skrives som kurveintegralet langs kurven C av xdy.

Vi benytter tangentiellformen av Greens teorem for å bevise denne formelen.
Tangentialformen av Greens teorem lyder som følger (se fig):

Kurveintegralet langs kurven C av F·Tds er lik kurveintegralet langs kurven C av F1dx+F2dy
som igjen er lik dobbeltintegralet over R av (∂F2/∂x-∂F1/∂y)dA.

Dette sistnevnte dobbeltintegralet blir lik arealet av området R hvis integranden (∂F2/∂x-∂F1/∂y) er lik 1.
Dette kan vi få til på mange måter. En løsning er å sette følgende:

∂F2/∂x = 1
∂F1/∂y = 0

Disse to sistnevnte ligningene har mange løsninger, men en mulig løsning er F2=x og F1=0
Dette innsatt i uttykket F1dx+F2dy i kurveintegralet langs C gir det ønskede resultatet.


Konklusjon:
Arealet A av området R kan skrives som kurveintegralet langs kurven C av xdy.



Greens arealteorem
La oss forsøke å gi en figurmessig forklaring av dette resultatet.
På figuren har vi tegnet inn den lukkede kurven C og området R avgrenset av denne kurven.
Videre har vi plukket ut et punkt (x,y) i høyre ende av det inntegnede rektangelet.
Fra punktet (x,y) inn til y-aksen har vi tegnet inn et horisontalt rektangel med lengde x og høyde dy.
Integranden xdy er da arealet av dette rektangelet (både den mørke grå og den hvite delen).
Når integreringen langs kurven C har kommet til den andre enden av den mørke grå delen av rektangelet, så er integranden xdy lik minus (minus fordi dy nå er negativ) arealet av den hvite delen av rektangelet.
Dette betyr at arealet av den mørke grå delen av rektangelet (som ligger i området R) fremkommer som netto resultat av en liten integrasjondel ved traversering oppover til høyre på figuren og tilsvarende traversering nedover til venstre på figuren.