Vektor kalkulus UiA Logo
[Hovedmeny][Forrige][Neste] [Streaming] [Powerpointslides] [Video/Sim]
På forrige side utledet vi en formel for arealet av et området R avgrenset av en lukket kurve C som et kurveintegral langs kurven C.
På denne siden skal vi utlede en ny slik formel.

Arealet av et område R avgrenset av en lukket kurve C i planet er gitt ved dobbeltintegralet av dA over området R.
På denne siden viser vi det samme arealet kan skrives som kurveintegralet langs kurven C av -ydx.

Vi benytter tangentiellformen av Greens teorem for å bevise denne formelen.
Tangentialformen av Greens teorem lyder som følger (se fig):

Kurveintegralet langs kurven C av F·Tds er lik kurveintegralet langs kurven C av F1dx+F2dy
som igjen er lik dobbeltintegralet over R av (∂F2/∂x-∂F1/∂y)dA.

Dette sistnevnte dobbeltintegralet blir lik arealet av området R hvis integranden (∂F2/∂x-∂F1/∂y) er lik 1.
Dette kan vi få til på mange måter. En løsning er å sette følgende:

∂F2/∂x = 0
∂F1/∂y = -1

Disse to sistnevnte ligningene har mange løsninger, men en mulig løsning er F2=0 og F1=-y.
Dette innsatt i uttykket F1dx+F2dy i kurveintegralet langs C gir det ønskede resultatet.

Konklusjon:
Arealet A av området R kan skrives som kurveintegralet langs kurven C av -ydx.


Greens arealteorem
La oss forsøke å gi en figurmessig forklaring av dette resultatet.
På figuren har vi tegnet inn den lukkede kurven C og området R avgrenset av denne kurven.
Videre har vi plukket ut et punkt (x,y) i øvre ende av det inntegnede rektangelet.
Fra punktet (x,y) ned til x-aksen har vi tegnet inn et vertikalt rektangel med høyde y og bredde dx.
Integranden -ydx er da arealet av dette rektangelet (både den mørke grå og den hvite delen), minustegnet i integranden oppheves av fortegnet til dx som er negativt siden vi i den øvre delen av rektangelet vandrer mot venstre (mot klokka).
Når integreringen langs kurven C har kommet til den nedre enden av den mørke grå delen av rektangelet, så er integranden -xdy lik minus arealet av den hvite delen av rektangelet.
Dette betyr at arealet av den mørke grå delen av rektangelet (som ligger i området R) fremkommer som netto resultat av en liten integrasjondel ved traversering til venstre i den øvre delen av figuren og tilsvarende traversering mot høyre i den nedre delen av figuren.