| Vektor kalkulus | |
|
På de to foregående siden utledet vi to formler for arealet av et området R avgrenset av en lukket kurve C
som et kurveintegral langs kurven C. Først utledet vi følgende formel for areal: Arealet av et område R avgrenset av en lukket kurve C i planet er gitt ved dobbeltintegralet av dA over området R. Deretter utledet vi følgende formel for areal: Arealet av et område R avgrenset av en lukket kurve C i planet er gitt ved dobbeltintegralet av dA over området R. På denne siden skal vi utlede en tredje formel for areal. Vi benytter tangentiellformen av Greens teorem for å bevise denne formelen. Tangentialformen av Greens teorem lyder som følger (se fig): Kurveintegralet langs kurven C av F·Tds er lik kurveintegralet langs kurven C av F1dx+F2dy som igjen er lik dobbeltintegralet over R av (∂F2/∂x-∂F1/∂y)dA. Dette sistnevnte dobbeltintegralet blir lik arealet av området R hvis integranden (∂F2/∂x-∂F1/∂y) er lik 1. Dette kan vi få til på mange måter. En løsning er å sette følgende: ∂F2/∂x = 1/2 ∂F1/∂y = -1/2 Disse to sistnevnte ligningene har mange løsninger, men en mulig løsning er F2=1/2x og F1=-1/2y. Dette innsatt i uttykket F1dx+F2dy i kurveintegralet langs C gir det ønskede resultatet. Konklusjon: Arealet A av området R kan skrives som kurveintegralet langs kurven C av 1/2(xdy-ydx). Dette sluttresultatet kunne vi kommet frem til mer direkte ved å benytte resultatene fra de to foregående sidene. Siden vi der utledet to formler for arealet, så vil vi selfølgelig få en tredje formel ved å addere de to tidligere formlene for areal og multiplisere resultatet med 1/2. |
